Ortonormalizzazione di Gram-Schmidt

Ortonormalizzazione di Gram-Schmidt

Procedimento per la Ortonormalizzazione;
Sia (v1, . . . , vn) base ordinata di V.
(1) Prima di tutto devo ortogonalizzare dove (e1, . . . , en) `e una base ortogonale di V^n.
(2) Seconda cosa devo normalizzare∀i ∈ {1, . . . , n}, poniamo fi =ei/(||ei||)
(f1, . . . , fn) `e una base ortonormale di V^n.
Proposizione
Se B = (e1, . . . , en) `e una base ordinata ortonormale di V^n e u ≡B (α1, . . . , αn),v ≡B (β1, . . . , βn), si ha:
(a) αi =
(b) = Pni=1 αiβi
(c) ||u|| = qPn i=1 α2i
Proposizione
Sia B una base ordinata ortonormale di V^n. Una base ordinata B 0 di V ^n `e
ortonormale se e solo se la matrice delle componenti di B0 rispetto a B è ortogonale.
Definizione
Uno spazio euclideo `e una terna (E~, E, π), dove E~ `e spazio vettoriale euclideo, E `e un insieme e π (pigreco) : E × E → E~ un’applicazione π(P, Q) = −→PQ, soddisfacente i seguenti assiomi:
(1) ∀P ∈ E, ∀~v ∈ E~, ∃!Q ∈ E, tale che −→PQ = ~v.
(2) ∀P, Q, R ∈ E, −→PQ + −→QR = −→PR (relazione di Chasles).
Notazioni:
Elementi di E (punti): A, B, . . . , P, Q, R, . . .
Elementi di E (vettori liberi): ~a, ~b, . . . , u~, ~v, . . .
Proprietà
−→QR = ~0 ⇐⇒ Q = R
−→QR = − −→RQ.
Dimensione di E = dim E~ (se finita)