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Risoluzione di problemi con le equazioni diofantee


Adesso andremo ad approfondire meglio le strategie risolutive delle equazioni diofantee.
Proviamo a risolvere insieme questo esercizio:
"Marco ha comprato dei cioccolatini, al latte e fondenti, che costano rispettivamente €0,35 e €0,40 al pezzo. Sapendo che Marco ha speso in totale €6,85, quanti cioccolatini al latte e fondenti ha comprato?"
Risoluzione
Sia
[math]a[/math]
il numero di cioccolatini al latte, e
[math]b[/math]
il numero di quelli fondenti.
C'è da risolvere la seguente equazione diofantea:
[math]35a+40b=685[/math]
Semplifichiamo il possibile:
[math]7a+8b=137[/math]
A questo punto non possiamo semplificare ulteriormente.
Applichiamo il Teorema di Bézout:
[math]7m+8n=1[/math]
da cui si ottiene che:
m = 7
n = -6
Otteniamo quindi dei valori di (a, b)=(959,-822)
Le altre soluzioni saranno del tipo:
959-8h > 0, da cui si ricava che h < 120
-822+7h > 0, da cui si ricava che h > 117
Poniamo h = 118:
allora
[math]a=959−8*118=15[/math]

[math]b=−822+7*118=4[/math]

Poniamo h = 119:
allora
[math]a=959−8*119=7[/math]

[math]b=−822+7*119=11[/math]

Possiamo concludere dicendo che il problema ha più soluzioni, una nel caso in cui Marco abbia comprato 15 cioccolatini al latte e 4 fondenti; e un altro caso in cui ne abbia comprato 7 al latte e 11 fondenti.
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