Definizione 1: Disequazione esponenziale risolvibile con i logaritmi
Siano
[math]f(x)[/math]
e [math]g(x)[/math]
due funzioni formate da prodotti e quozienti di termini positivi, in cui la [math]x[/math]
compare solo in alcuni degli esponenti. Allora ognuna delle disequazioni[
f(x)>g(x),quad f(x)ge g(x),quad f(x) ]
una disequazione esponenziale risolvibile con i logaritmi.
Metodo risolutivo: Come anche nel caso del metodo risolutivo per le equazioni esponenziali, la positivit dei due termini
[math]f(x)[/math]
e [math]g(x)[/math]
della disequazione ci consente lapplicazione del logaritmo di base [math]b[/math]
a destra e a sinistra del segno di disuguaglianza. A differenza del caso delluguaglianza, per, qui bisogna prestare attenzione a che il segno sia un maggiore o un minore. Infatti, dallo studio della funzione logaritmica segue che essa crescente qualora risulti [math]b>1[/math]
, mentre invece decrescente nel caso in cui [math]0. Ci comporta che se vorremo applicare un logaritmo di base minore di 1 il segno della disequazione andr invertito, mentre se la base scelta sar maggiore di 1 non bisogner mutarlo: [ b>1:enspace f(x)>g(x)
ightarrowlog_{b}f(x)>log_{b}g(x)\
0g(x)
ightarrowlog_{b}f(x)
Da questo punto in avanti si procede esattamente come per una equazione esponenziale risolvibile con i logaritmi: si applicano prima le propriet di prodotto e quoziente, poi quella di potenza e infine si risolve la disequazione algebrica che ne sar risultata.
In questo caso compaiono tre diverse basi, ma se si considera che 4 e 8 sono entrambi potenze di 2 la disequazione si pu riscrivere nella forma (2^{2x}+3^x>2^{3left(frac{2}{3}x+1
ight)} ). Il prossimo passaggio consiste nel riscrivere la disequazione in modo che tutti i termini con la stessa base compaiano dallo stesso lato del segno di disuguaglianza:
[
3^x>2^{3left(frac{2}{3}x+1
ight)}-2^{2x}=2^{2x+3}-2^{2x}=2^{2x}left(2^3-1
ight)=7cdot 2^{2x}
]
Svolgendo i semplici calcoli algebrici mostrati nei passaggi precedenti otteniamo cos la disequazione
Procedendo come da osservazione 1, prendiamo il logaritmo naturale di entrambi i lati della disequazione, abbiamo
[
ln3^x>lnleft(7cdot2^{2x}
ight)
]
Applichiamo ora prima di tutto la propriet del logaritmo di un prodotto, poi quella del logaritmo di una potenza. Il risultato sar
[
ln3^x>lnleft(7cdot2^{2x}
ight)Rightarrowln3^x>ln7+ln2^{2x}Rightarrow xln3>ln7+2xln2
]
In questo modo abbiamo ottenuto una semplice disequazione algebrica, che possibile risolvere con i metodi gi studiati:
[
xln3>ln7+2xln2Rightarrow xln3-2xln2>ln7Rightarrow xleft(ln3-2ln2
ight)>ln7
]
Il passaggio successivo richiede del ragionamento; infatti, per sapere se il maggiore va cambiato o no in minore quando entrambi i membri vengono divisi per il coefficiente della
[
ln3-2ln2=ln3-ln4 ]
visto che il logaritmo naturale una funzione strettamente crescente. Dunque il segno della disequazione va cambiato, e otterremo alla fine
[
x
Di solito, al risolvere una equazione o disequazione esponenziale, riduciamo tutte le basi ai loro fattori primi: cos abbiamo fatto infatti nellesempio 1; in questo caso, poich lunica base che compare 4, non c questa necessit. Se poniamo
[
y=4^x
ightarrow y^2+y-6>0\
left(y-2
ight)left(y+3
ight)>0Rightarrow y 2
]
Ricordando la nostra posizione, le due disequazioni ottenute per la
[
4^x>2Rightarrowlog_{4}4^x > log_{4}2Rightarrow x>frac{1}{log_{2}4}=frac{1}{2}
]
Evidenziamo ancora solo che il segno della disequazione non cambiato poich
ightarrowlog_{b}f(x)>log_{b}g(x)\
0g(x)
ightarrowlog_{b}f(x)
Da questo punto in avanti si procede esattamente come per una equazione esponenziale risolvibile con i logaritmi: si applicano prima le propriet di prodotto e quoziente, poi quella di potenza e infine si risolve la disequazione algebrica che ne sar risultata.
Osservazione 1: Anche in questo caso lecito considerare una qualsiasi base
[math]b>1[/math]
, [math]b\ne1[/math]
, purch si tenga conto della regola del segno esposta nel metodo risolutivo. Se, come si suole, la base scelta il numero di Nepero [math]e\approx 2.718[/math]
, visto che risulta [math]e>1[/math]
il segno della disequazione rimane immutato.
Esempi di risoluzione con i logaritmi di disequazioni esponenziali
Esempio 1: Si vuole risolvere la disequazione (4^x+3^x>8^{frac{2}{3}x+1}).In questo caso compaiono tre diverse basi, ma se si considera che 4 e 8 sono entrambi potenze di 2 la disequazione si pu riscrivere nella forma (2^{2x}+3^x>2^{3left(frac{2}{3}x+1
ight)} ). Il prossimo passaggio consiste nel riscrivere la disequazione in modo che tutti i termini con la stessa base compaiano dallo stesso lato del segno di disuguaglianza:
[
3^x>2^{3left(frac{2}{3}x+1
ight)}-2^{2x}=2^{2x+3}-2^{2x}=2^{2x}left(2^3-1
ight)=7cdot 2^{2x}
]
Svolgendo i semplici calcoli algebrici mostrati nei passaggi precedenti otteniamo cos la disequazione
[math]3^x>7\cdot2^{2x}[/math]
, che proprio del tipo descritto nella definizione 1: infatti la [math]x[/math]
compare solo allesponente, e entrambi i membri sono prodotti di termini positivi.Procedendo come da osservazione 1, prendiamo il logaritmo naturale di entrambi i lati della disequazione, abbiamo
[
ln3^x>lnleft(7cdot2^{2x}
ight)
]
Applichiamo ora prima di tutto la propriet del logaritmo di un prodotto, poi quella del logaritmo di una potenza. Il risultato sar
[
ln3^x>lnleft(7cdot2^{2x}
ight)Rightarrowln3^x>ln7+ln2^{2x}Rightarrow xln3>ln7+2xln2
]
In questo modo abbiamo ottenuto una semplice disequazione algebrica, che possibile risolvere con i metodi gi studiati:
[
xln3>ln7+2xln2Rightarrow xln3-2xln2>ln7Rightarrow xleft(ln3-2ln2
ight)>ln7
]
Il passaggio successivo richiede del ragionamento; infatti, per sapere se il maggiore va cambiato o no in minore quando entrambi i membri vengono divisi per il coefficiente della
[math]x[/math]
necessario sapere se esso maggiore o minore di 0. Con le propriet dei logaritmi,[
ln3-2ln2=ln3-ln4 ]
visto che il logaritmo naturale una funzione strettamente crescente. Dunque il segno della disequazione va cambiato, e otterremo alla fine
[
x
Esempio 2: Si vuole risolvere la disequazione
[math]4^{2x}+4^x-6\ge 0[/math]
.Di solito, al risolvere una equazione o disequazione esponenziale, riduciamo tutte le basi ai loro fattori primi: cos abbiamo fatto infatti nellesempio 1; in questo caso, poich lunica base che compare 4, non c questa necessit. Se poniamo
[math]y=4^x[/math]
, la disequazione si trasforma in una polinomiale, e poich essa di secondo grado siamo anche in grado di risolverla facilmente:[
y=4^x
ightarrow y^2+y-6>0\
left(y-2
ight)left(y+3
ight)>0Rightarrow y 2
]
Ricordando la nostra posizione, le due disequazioni ottenute per la
[math]y[/math]
sono equivalenti a disequazioni esponenziali con la [math]x[/math]
: [math]\quad 4^x 2[/math]
. La prima di esse chiaramente impossibile, poich per ogni valore reale di [math]x[/math]
tutti gli esponenziali sono strettamente positivi. La seconda si risolve facilmente prendendo, secondo il metodo risolutivo visto, il logaritmo in base 4 di entrambi i membri[
4^x>2Rightarrowlog_{4}4^x > log_{4}2Rightarrow x>frac{1}{log_{2}4}=frac{1}{2}
]
Evidenziamo ancora solo che il segno della disequazione non cambiato poich
[math]4>0[/math]
, e che nellultimo passaggio abbiamo utilizzato la regola del cambio di base per scambiare argomento e base dellultimo logaritmo e ottenere pi agevolmente il risultato.
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