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Disequazioni di secondo grado risolvibili con ragionamento


In questo appunto parleremo di disequazioni di secondo grado risolvibili con ragionamento, perciò senza definire il valore preciso della x ma utilizzando l'insieme dei reali (R).
Per cominciare creiamo uno specchietto per aiutarci a capire come funzionano.
[math]x^2 < 0 \qquad \not\exists x \in \mathbb{R}[/math]
.
"Non esistono x appartenenti ai reali", questo perchè tutti i numeri reali, sia negativi che positivi, elevati alla seconda sono positivi, perciò maggiori di 0. Lo 0 è l'unico numero che elevato alla seconda dà come risultato 0, ma in questa disequazione la soluzione deve essere < e non <=.
[math]x^2 > 0 \qquad \forall x \in \mathbb{R} - \left \{ 0 \right \}[/math]
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"Per ogni x appartenente ai reali, escluso 0", questo perchè tutti i numeri reali, sia negativi che positivi, elevati alla seconda sono positivi, perciò maggio di 0. Lo 0 è l'unico numero che elevato alla seconda dà come risultato 0, ma in questa disequazione la soluzione deve essere > e non >=.
[math]x^2 \le 0 \qquad x=0[/math]
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"x uguale a 0", questo perchè solo lo 0 elevato alla seconda può essere uguale a 0, infatti tutti i i numeri reali, sia negativi che positivi, elevati alla seconda sono positivi, perciò maggiori di 0.
[math]x^2 \ge 0 \qquad \forall x \in \mathbb{R}[/math]
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"Per ogni x appartenente ai reali", questo perchè tuutti i numeri reali, sia negativi che positivi, elevati alla seconda sono positivi, perciò maggio di 0.

Ora facciamo qualche esempio facondo rifermento allo specchietto qui sopra.

[math](x-3)^2 > 0 \qquad \forall x \in \mathbb{R} - \left \{ 3 \right \}[/math]
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"Per ogni x appartenente ai reali escluso il 3". Tutti i reali perchè al quadrato sono maggiori di 0 ed escluso il 3 perchè 3-3=0 e 0 al quadrato non è maggiore di 0.
[math]x^2+3 > 0 \qquad \forall x \in \mathbb{R}[/math]
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"Per ogni x appartenente ai reali", questo perchè ogni reale al quadrato è maggiore di 0, inoltre, se la x fosse 0, sommata a 3 il risultato è inesorabilmente maggiore a 0.
[math]\frac{x^2+3}{2x-1} < 0 \qquad 2x-1 < 0 \qquad x< \frac{1}{2}[/math]
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Questa è una disequazione frazionaria. Per risolvere bisogna considerare 2 cose:
1) il verso della disequazione
2) il positivo della frazione
Se il verso è < allora nella frazione c'è un positivo e un negativo. Se il verso è > allora entrambi sono positivi. In questa disequazione il verso è < perciò c'è 1 solo positivo. Individuiamolo: x^2+3. Questo è il positivo perchè come abbiamo capito in precedenza ogni numero elevato alla seconda è positivo. Per questo motivo si può elidere e si può considerare soltanto l'altro: 2x-1. A questo punto si risolve come una normale disequazione con ragionamento.
[math]\frac{(x-3)^2}{x} > 0 \qquad x>0 \qquad x\ne 3[/math]
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In questa disequazione il verso è >, perciò entrambi sono positivi o nulli. Sappiamo per certo che (x-3)^2 è positivo, perciò lo elidiamo e consideriamo l'altro. Il risultato perciò è x>0. Dobbiamo però considerare anche il numeratore poichè il verso è >. Il numeratore deve per forza essere >0, perciò determiniamo le CE: x =/ 3.
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