Equazioni 1°, 2°, parametriche, di grado superiore...: Data l'equazione (k - 2) x^2 - 2(k - 2)x + 1

di _francesca.ricci

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Data l'equazione

[math](k - 2) x^2 - 2(k - 2)x + 1 - k = 0 [/math]

, determinare

[math]k[/math]

in modo che

L'equazione abbia soluzioni reali;
Una radice sia l'inverso del triplo dell'altra;
La somma dei quadrati delle radici sia
[math]1[/math]
;
[math]x_1 + 2 x_2 = 1 [/math]
;
[math] x_1 ^2 + x_2 ^2 > frac(16)(3) [/math]
;

Svolgimento (1)

Affinché l'equazione abbia soluzioni reali, dobbiamo porre

[math]â â¥ 0 [/math]

[math] b^2 - 4ac â¥ 0 [/math]

[math] [- 2(k - 2)]^2 - 4(k - 2)(1 - k) â¥ 0 [/math]

[math] [- 2k + 4]^2 - 4(k - k^2 - 2 + 2k) â¥ 0 [/math]

[math] 4k^2 + 16 - 16k - 4k + 4k^2 + 8 - 8k â¥ 0 [/math]

[math] 8k^2 - 28k + 24 â¥ 0 [/math]

[math] 2k^2 - 7k + 6 â¥ 0 [/math]

Passiamo all'equazione associata e determiniamo le soluzioni con la formula

[math]k = frac(- b Â± \sqrt{b^2 - 4ac})(2a) [/math]

[math] 2k^2 - 7k + 6 = 0 [/math]

[math]k = frac(-(-7) Â± \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 2})(2 \cdot 2) = frac(7 Â± \sqrt(49-48))(4) = frac(7 Â± 1)(4) [/math]

[math] k_1 = frac(7 + 1)(4) = 2 , k_2 = frac(7 - 1)(4) = 3/2 [/math]

Essendo la disequazione maggiore o uguale a zero, le soluzioni saranno date dagli intervalli esterni alle radici:

[math] k â¤ 3/2 â¨ k > 2 [/math]

Svolgimento (2)

Una radice deve essere l'inverso del triplo dell'altra; in questo caso abbiamo che:

[math]x_1 = frac(1)(3 x_2) [/math]

Poniamo

[math]x_2 â 0 [/math]

e calcoliamo il minimo comune multiplo:

[math] 3 x_1 x_2 = 1[/math]

Sapendo che il prodotto delle radici è

[math]c/a[/math]

, abbiamo che:

[math] 3 \cdot c/a = 1[/math]

[math] 3 \cdot frac(1 - k)(k - 2) = 1[/math]

Poniamo

[math]k â 2[/math]

e risolviamo:

[math] frac(3 - 3k)(k - 2) = 1 [/math]

[math] 3 - 3k = k - 2 [/math]

[math] 3 - 3k - k + 2 = 0 \to k = 5/4 [/math]

Svolgimento (3)

La somma dei quadrati delle radici deve essere 1; abbiamo che:

[math] x_1 ^2 + x_2 ^2 = 1 [/math]

La somma dei quadrati delle radici può essere scritta in questo modo:

[math] x_1 ^2 + x_2 ^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2 x_1 x_2 [/math]

Sapendo che la somma delle radici è data dalla formula

[math]- b/a[/math]

, mentre il loro prodotto è

[math]c/a[/math]

, abbiamo che:

[math] (x_1 + x_2)^2 - 2 x_1 x_2 = (- b/a)^2 - 2 c/a[/math]

quindi:

[math] (- b/a)^2 - 2 c/a = 1 [/math]

[math] (- frac(-2k + 4)(k - 2) )^2 - 2 frac(1 - k)(k - 2) = 1 [/math]

[math] (frac(2k - 4)(k - 2))^2 - frac(2 - 2k)(k - 2) = 1 [/math]

[math] frac(4k^2 + 16 - 16k)((k - 2)^2) - frac(2 - 2k)(k - 2) = 1 [/math]

Svolgiamo il minimo comune multiplo:

[math]4k^2 + 16 - 16k - (2 - 2k)(k - 2) = (k - 2)^2 [/math]

[math]4k^2 + 16 - 16k - (2k - 4 - 2k^2 + 4k) = k^2 + 4 - 4k [/math]

[math]4k^2 + 16 - 16k - (- 4 - 2k^2 + 6k) = k^2 + 4 - 4k [/math]

[math]4k^2 + 16 - 16k + 4 + 2k^2 - 6k - k^2 - 4 + 4k = 0 [/math]

[math]5k^2 - 18k + 16 = 0 [/math]

Troviamo le soluzioni con la formula ridotta

[math]k = frac(- b/2 Â± \sqrt{(b/2)^2 - ac})(a) [/math]

[math]k = frac( 9 Â± \sqrt{9^2 - 5 \cdot 16})(5) = frac(9 Â± \sqrt(81-80))(5) = frac(9 Â± 1)(5) [/math]

[math] k_1 = frac(9 + 1)(5) = 2 , k_2 = frac(9 - 1)(5) = 8/5 [/math]

Entrambe le soluzioni non sono accettabili, poiché non rientrano nell'intervallo delle soluzioni reali, pertanto, non è possibile che la somma dei quadrati delle radici sia

[math]1[/math]

Svolgimento (4)

[math] x_1 + 2 x_2 = 1 [/math]

;

In questo caso dobbiamo impostare un sistema, considerando come altra equazione l'espressione

[math] x_1 + x_2 = - b/a = frac(2(k - 2))(k - 2) = 2[/math]

[math][/math]
left{ \begin{array}{rl}
x_1 + 2 x_2 = 1 &\
x_1 + x_2 = 2 &
end{array}\right.
[math][/math]

Ricaviamo un'incognita da una delle due equazioni e risolviamo il sistema per sostituzione:

[math][/math]
left{ \begin{array}{rl}
x_1 = 1 - 2 x_2 &\
x_1 + x_2 = 2 &
end{array}\right.
[math][/math]

Sostituiamo nella seconda equazione:

[math] 1 - 2 x_2 + x_2 = 2 \to x_2 = -1 [/math]

Otteniamo quindi:

[math] x_1 = 3 , x_2 = - 1 [/math]

Ora, sapendo che il prodotto delle radici è

[math]c/a[/math]

, possiamo scrivere che:

[math] frac(1 - k)(k - 2) = x_1 x_2 [/math]

Conoscendo il valore delle due radici, possiamo ricavare il valore di

[math]k[/math]

[math] frac(1 - k)(k - 2) = -1 \cdot 3 [/math]

[math] 1 - k = -3k + 6 [/math]

[math] 1 - k + 3k - 6 = 0 \to k = 5/2 [/math]

Svolgimento (5)

[math]x_1 ^2 + x_2 ^2 > frac(16)(3) [/math]

Sappiamo che la somma dei quadrati delle radici può essere scritta in questo modo:

[math] x_1 ^2 + x_2 ^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2 x_1 x_2 [/math]

Poiché la somma delle radici è data dalla formula

[math]- b/a[/math]

, mentre il loro prodotto è

[math]c/a[/math]

, abbiamo che:

[math](x_1 + x_2)^2 - 2 x_1 x_2 = (- b/a)^2 - 2 c/a[/math]

quindi:

[math](- b/a)^2 - 2 c/a > frac(16)(3) [/math]

[math](- frac(-2k + 4)(k - 2))^2 - 2 \cdot frac(1 - k)(k - 2) > frac(16)(3) [/math]

[math](frac(2k - 4)(k - 2))^2 - frac(2 - 2k)(k - 2) > frac(16)(3) [/math]

[math]frac(4k^2 + 16 - 16k)((k - 2)^2) - frac(2 - 2k)(k - 2) > frac(16)(3) [/math]

Calcoliamo il minimo comune multiplo :

[math]frac(3(4k^2 + 16 - 16k) - 3(2 - 2k)(k - 2) )(3(k - 2)^2) > frac(16(k - 2)^2)(3(k - 2)^2) [/math]

[math]frac(3(4k^2 + 16 - 16k) - 3(2 - 2k)(k - 2) )(3(k - 2)^2) - frac(16(k - 2)^2)(3(k - 2)^2) > 0 [/math]

[math]frac( 12k^2 + 48 - 48k + 12 + 6k^2 - 18k - 16k^2 - 64 + 64k)(3(k - 2)^2) > 0 [/math]

[math]frac( 2k^2 - 2k - 4 )(3(k - 2)^2) > 0 [/math]

[math] N > 0[/math]

[math] 2k^2 - 2k - 4 > 0[/math]

[math] k^2 - k - 2 > 0[/math]

Passiamo all'equazione associata e risolviamo con la formula

[math]k = frac(- b Â± \sqrt{b^2 - 4ac})(2a) [/math]

[math] k^2 - k - 2 = 0[/math]

[math]k = frac(-(-1) Â± \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot (-2)})(2) = frac(1 Â± \sqrt(1+8))(2) = frac(1 Â± 3)(2) [/math]

[math] k_1 = frac(1 + 3)(2) = 2 , k_2 = frac(1 - 3)(2) = - 1 [/math]

Poiché la disequazione è maggiore di zero, prendiamo come risultati gli intervalli esterni alle radici:

[math] k > - 1 â¨ k > 2 [/math]

Studiamo il segno del denominatore:

[math] D > 0[/math]

[math] 3(k - 2)^2 > 0 \to â k â â, k â 2 [/math]

Studiamo il segno fra numeratore e denominatore:

Essendo la disequazione di partenza minore di zero, prendiamo gli intervalli negativi:

[math] - 1 > k > 2 [/math]

Poiché però, affinché l'equazione abbia soluzioni reali

[math]k[/math]

deve essere compreso nell'intervallo

[math] ( - â ; 3/2 ] âª ( 2 ; + â ) [/math]

, avremmo che la soluzione sarà:

[math] - 1 > k â¤ 3/2 [/math]

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Risoluzione di una equazione parametrica: determinare il valore del parametro k affinché siano soddisfatte le condizioni date

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