Equazioni 1°, 2°, parametriche, di grado superiore...: Data l'equazione (k - 2) x^2 - 2(k - 2)x + 1

di _francesca.ricci

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Data l'equazione

(k - 2) x^{2} - 2 (k - 2) x + 1 - k = 0

, determinare

k

in modo che

L'equazione abbia soluzioni reali;
Una radice sia l'inverso del triplo dell'altra;
La somma dei quadrati delle radici sia
$1$
;
$x_{1} + 2 x_{2} = 1$
;
$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} > f r a c (16) (3)$
;

Svolgimento (1)

Affinché l'equazione abbia soluzioni reali, dobbiamo porre

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Passiamo all'equazione associata e determiniamo le soluzioni con la formula

k = f r a c (- b Â \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}) (2 a)

2 k^{2} - 7 k + 6 = 0

k = f r a c (- (- 7) Â \pm \sqrt{(- 7)^{2} - 4 \cdot 6 \cdot 2}) (2 \cdot 2) = f r a c (7 Â \pm \sqrt{(} 49 - 48)) (4) = f r a c (7 Â \pm 1) (4)

k_{1} = f r a c (7 + 1) (4) = 2, k_{2} = f r a c (7 - 1) (4) = 3 / 2

Essendo la disequazione maggiore o uguale a zero, le soluzioni saranno date dagli intervalli esterni alle radici:

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Svolgimento (2)

Una radice deve essere l'inverso del triplo dell'altra; in questo caso abbiamo che:

x_{1} = f r a c (1) (3 x_{2})

Poniamo

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e calcoliamo il minimo comune multiplo:

3 x_{1} x_{2} = 1

Sapendo che il prodotto delle radici è

c / a

, abbiamo che:

3 \cdot c / a = 1

3 \cdot f r a c (1 - k) (k - 2) = 1

Poniamo

Math input error

e risolviamo:

f r a c (3 - 3 k) (k - 2) = 1

3 - 3 k = k - 2

3 - 3 k - k + 2 = 0 \to k = 5 / 4

Svolgimento (3)

La somma dei quadrati delle radici deve essere 1; abbiamo che:

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 1

La somma dei quadrati delle radici può essere scritta in questo modo:

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2 x_{1} x_{2}

Sapendo che la somma delle radici è data dalla formula

- b / a

, mentre il loro prodotto è

c / a

, abbiamo che:

(x_{1} + x_{2})^{2} - 2 x_{1} x_{2} = (- b / a)^{2} - 2 c / a

quindi:

(- b / a)^{2} - 2 c / a = 1

(- f r a c (- 2 k + 4) (k - 2))^{2} - 2 f r a c (1 - k) (k - 2) = 1

(f r a c (2 k - 4) (k - 2))^{2} - f r a c (2 - 2 k) (k - 2) = 1

f r a c (4 k^{2} + 16 - 16 k) ((k - 2)^{2}) - f r a c (2 - 2 k) (k - 2) = 1

Svolgiamo il minimo comune multiplo:

4 k^{2} + 16 - 16 k - (2 - 2 k) (k - 2) = (k - 2)^{2}

4 k^{2} + 16 - 16 k - (2 k - 4 - 2 k^{2} + 4 k) = k^{2} + 4 - 4 k

4 k^{2} + 16 - 16 k - (- 4 - 2 k^{2} + 6 k) = k^{2} + 4 - 4 k

4 k^{2} + 16 - 16 k + 4 + 2 k^{2} - 6 k - k^{2} - 4 + 4 k = 0

5 k^{2} - 18 k + 16 = 0

Troviamo le soluzioni con la formula ridotta

k = f r a c (- b / 2 Â \pm \sqrt{(b / 2)^{2} - a c}) (a)

k = f r a c (9 Â \pm \sqrt{9^{2} - 5 \cdot 16}) (5) = f r a c (9 Â \pm \sqrt{(} 81 - 80)) (5) = f r a c (9 Â \pm 1) (5)

k_{1} = f r a c (9 + 1) (5) = 2, k_{2} = f r a c (9 - 1) (5) = 8 / 5

Entrambe le soluzioni non sono accettabili, poiché non rientrano nell'intervallo delle soluzioni reali, pertanto, non è possibile che la somma dei quadrati delle radici sia

1

Svolgimento (4)

x_{1} + 2 x_{2} = 1

;

In questo caso dobbiamo impostare un sistema, considerando come altra equazione l'espressione

x_{1} + x_{2} = - b / a = f r a c (2 (k - 2)) (k - 2) = 2

left{ \begin{array}{rl}
x_1 + 2 x_2 = 1 &\
x_1 + x_2 = 2 &
end{array}\right.

Ricaviamo un'incognita da una delle due equazioni e risolviamo il sistema per sostituzione:

left{ \begin{array}{rl}
x_1 = 1 - 2 x_2 &\
x_1 + x_2 = 2 &
end{array}\right.

Sostituiamo nella seconda equazione:

1 - 2 x_{2} + x_{2} = 2 \to x_{2} = - 1

Otteniamo quindi:

x_{1} = 3, x_{2} = - 1

Ora, sapendo che il prodotto delle radici è

c / a

, possiamo scrivere che:

f r a c (1 - k) (k - 2) = x_{1} x_{2}

Conoscendo il valore delle due radici, possiamo ricavare il valore di

k

f r a c (1 - k) (k - 2) = - 1 \cdot 3

1 - k = - 3 k + 6

1 - k + 3 k - 6 = 0 \to k = 5 / 2

Svolgimento (5)

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} > f r a c (16) (3)

Sappiamo che la somma dei quadrati delle radici può essere scritta in questo modo:

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2 x_{1} x_{2}

Poiché la somma delle radici è data dalla formula

- b / a

, mentre il loro prodotto è

c / a

, abbiamo che:

(x_{1} + x_{2})^{2} - 2 x_{1} x_{2} = (- b / a)^{2} - 2 c / a

quindi:

(- b / a)^{2} - 2 c / a > f r a c (16) (3)

(- f r a c (- 2 k + 4) (k - 2))^{2} - 2 \cdot f r a c (1 - k) (k - 2) > f r a c (16) (3)

(f r a c (2 k - 4) (k - 2))^{2} - f r a c (2 - 2 k) (k - 2) > f r a c (16) (3)

f r a c (4 k^{2} + 16 - 16 k) ((k - 2)^{2}) - f r a c (2 - 2 k) (k - 2) > f r a c (16) (3)

Calcoliamo il minimo comune multiplo :

f r a c (3 (4 k^{2} + 16 - 16 k) - 3 (2 - 2 k) (k - 2)) (3 (k - 2)^{2}) > f r a c (16 (k - 2)^{2}) (3 (k - 2)^{2})

f r a c (3 (4 k^{2} + 16 - 16 k) - 3 (2 - 2 k) (k - 2)) (3 (k - 2)^{2}) - f r a c (16 (k - 2)^{2}) (3 (k - 2)^{2}) > 0

f r a c (12 k^{2} + 48 - 48 k + 12 + 6 k^{2} - 18 k - 16 k^{2} - 64 + 64 k) (3 (k - 2)^{2}) > 0

f r a c (2 k^{2} - 2 k - 4) (3 (k - 2)^{2}) > 0

N > 0

2 k^{2} - 2 k - 4 > 0

k^{2} - k - 2 > 0

Passiamo all'equazione associata e risolviamo con la formula

k = f r a c (- b Â \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}) (2 a)

k^{2} - k - 2 = 0

k = f r a c (- (- 1) Â \pm \sqrt{(- 1)^{2} - 4 \cdot (- 2)}) (2) = f r a c (1 Â \pm \sqrt{(} 1 + 8)) (2) = f r a c (1 Â \pm 3) (2)

k_{1} = f r a c (1 + 3) (2) = 2, k_{2} = f r a c (1 - 3) (2) = - 1

Poiché la disequazione è maggiore di zero, prendiamo come risultati gli intervalli esterni alle radici:

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Studiamo il segno del denominatore:

D > 0

Math input error

Studiamo il segno fra numeratore e denominatore:

Essendo la disequazione di partenza minore di zero, prendiamo gli intervalli negativi:

- 1 > k > 2

Poiché però, affinché l'equazione abbia soluzioni reali

k

deve essere compreso nell'intervallo

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, avremmo che la soluzione sarà:

Math input error

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Risoluzione di una equazione parametrica: determinare il valore del parametro k affinché siano soddisfatte le condizioni date

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