Determinare le condizioni di esistenza della seguente equazione:
[math] x^2 - (2^{k+1} - 1) x - 2^{k+1} + 1 = 0 [/math]
Svolgimento
Affinch lequazione abbia significato necessario che sia[math] ? ?0 [/math]
, quindi:
[math] b^2 - 4ac ?0 [/math]
[math] [- (2^{k+1} - 1)]^2 -4 \cdot (- 2^{k+1} + 1) ?0 [/math]
[math] (2^{k+1})^2 + 1 - 2 \cdot 2^{k+1} -4 -4 \cdot (- 2^{k+1}) ?0 [/math]
[math] 2^{2k+2} + 1 - 2^{k+1+1} -2^2 -2^2 \cdot (- 2^{k+1}) ?0 [/math]
[math] 2^{2k+2} + 1 - 2^{k+2} -2^2 + 2^{2+k+1} ?0 [/math]
[math] 2^{2k+2} - 2^{k+2} + 2^{k+3} -3 ?0 [/math]
Scomponiamo le potenze:
[math] 2^{2k} \cdot 2^2 - 2^k \cdot 2^2 + 2^k \cdot 2^3 - 3 ?0 [/math]
Effettuiamo un cambio di variabile, ponendo
[math] 2^k = y [/math]
:
[math] y^2 \cdot 2^2 - y \cdot 2^2 + y \cdot 2^3 - 3 ?0 [/math]
[math] 4y^2 - 4y + 8y - 3 ?0 [/math]
[math] 4y^2 + 4y - 3 ?0 [/math]
Passiamo allequazione associata e risolviamo con la formula ridotta
[math]x = frac(-b/2 \sqrt{(b/2)^2 - ac})(a) [/math]
:
[math] 4y^2 + 4y - 3 = 0 [/math]
[math]y = frac(-4/2 \sqrt{(4/2)^2 - 4 \cdot (-3)})(4) = frac(-2 \sqrt(4 + 12))(4) = [/math]
[math] frac(-2 \sqrt{16})(4) = frac(-2 4)(4) [/math]
[math] y_1 = frac(-2 + 4)(4) = 1/2 , y_2 = frac(-2 - 4)(4) = -3/2 [/math]
Poich la disequazione maggiore o uguale a zero, prendiamo come soluzioni gli intervalli esterni alle radici:
[math] y ?-3/2 ? y ?1/2[/math]
Sapendo che
[math] 2^k = y [/math]
, abbiamo che:
[math] 2^k ?-3/2 ? 2^k ?1/2[/math]
Analizziamo i singoli intervalli:
[math] 2^k ?-3/2 [/math]
IMPOSSIBILEla disequazione impossibile, poich se la base positiva, una potenza non pu mai essere negativa. Ricordiamo anche il grafico della funzione esponenziale, per il quale lasse delle ascisse asintoto orizzontale.
[math] 2^k ?1/2 o 2^k ?2^{-1} o k ?- 1 [/math]
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