Curva di Koch

La curva di Koch

La curva di Koch è il primo esempio di frattale, una curva infinitamente frastagliata. È inoltre un'applicazione delle progressioni geometriche (progressioni in cui è costante il rapporto tra un termine e il precedente).
Per la costruzione della curva di Koch si parte da un triangolo equilatero.
Schematizzando:
passo 1: costruire un triangolo equilatero
passo 2: su ogni lato costruire un triangolo equilatero sul terzo centrale del lato
passo 3: procedere così all'infinito

Dimostrazione che il perimetro è infinito:
La lunghezza aumenta di 1/3 ad ogni passo ovvero il rapporto tra le due lunghezze è di 4/3.

Per spiegare meglio questo passaggio immaginiamo di prendere un segmento e di dividerlo in tre parti. Al passaggio successivo si aggiunge un altro pezzo di segmento che formerà assieme alla porzione centrale una sporgenza a forma triangolare. Si otterrà perciò che al secondo passaggio ci sono 4 segmenti, uno in più rispetto al precedente. Questo applicato ad ogni lato della figura.

Ad ogni passaggio perciò il perimetro diventa 4/3 del perimetro precedente.
All'infinito:

Questo perché 4/3 > 1 quindi (4/3)^∞ = ∞

Dimostrazione che l'area è finita:
Dato un lato al passo successivo viene aggiunta l'area di quattro triangoli più piccoli. Il triangolo aggiunto ha l'area pari a 1/9 di quella del triangolo aggiunto al passo precedente.
Si può quindi dedurre che:

Ad ogni passo vengono aggiunti per ogni triangolo aggiunto al passo precedente quattro triangolino di area 1/9 di quella del triangolo precedente

Ad ogni passo perciò l'area aggiunta è pari ai 4/9 dell'area aggiunta prima

La successione An delle aree aggiunte è una progressione geometrica di ragione q=4/9

Per calcolare la somma dei termini di una progressione geometrica si utilizza la formula

Da A1 in poi l'area aggiunta si ottiene moltiplicandola per 4/9
9/5 A1 è la somma delle infinite parti aggiunte

L'Area totale: