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La curva di Koch


La curva di Koch è il primo esempio di frattale, una curva infinitamente frastagliata. È inoltre un'applicazione delle progressioni geometriche (progressioni in cui è costante il rapporto tra un termine e il precedente).
Per la costruzione della curva di Koch si parte da un triangolo equilatero.
Schematizzando:
passo 1: costruire un triangolo equilatero
passo 2: su ogni lato costruire un triangolo equilatero sul terzo centrale del lato
passo 3: procedere così all'infinito

Dimostrazione che il perimetro è infinito:
La lunghezza aumenta di 1/3 ad ogni passo ovvero il rapporto tra le due lunghezze è di 4/3.

Per spiegare meglio questo passaggio immaginiamo di prendere un segmento e di dividerlo in tre parti. Al passaggio successivo si aggiunge un altro pezzo di segmento che formerà assieme alla porzione centrale una sporgenza a forma triangolare. Si otterrà perciò che al secondo passaggio ci sono 4 segmenti, uno in più rispetto al precedente. Questo applicato ad ogni lato della figura.

Ad ogni passaggio perciò il perimetro diventa 4/3 del perimetro precedente.
All'infinito:

[math]\lim_{n\to+\infty}\left(\frac{4}{3}\right)^n P=+\infty[/math]

Questo perché 4/3 > 1 quindi (4/3)^∞ = ∞

Dimostrazione che l'area è finita:
Dato un lato al passo successivo viene aggiunta l'area di quattro triangoli più piccoli. Il triangolo aggiunto ha l'area pari a 1/9 di quella del triangolo aggiunto al passo precedente.
Si può quindi dedurre che:

  • Ad ogni passo vengono aggiunti per ogni triangolo aggiunto al passo precedente quattro triangolino di area 1/9 di quella del triangolo precedente

    Ad ogni passo perciò l'area aggiunta è pari ai 4/9 dell'area aggiunta prima

    La successione An delle aree aggiunte è una progressione geometrica di ragione q=4/9


Per calcolare la somma dei termini di una progressione geometrica si utilizza la formula
[math]S_n=A_1\frac{1-q^n}{1-q}[/math]
e quindi
[math]\lim_{n\to+\infty}A_1\frac{1-q^n}{1-q}=\lim_{n\to+\infty}A_1\cdot\frac{1-(4/9)^n}{1-4/9}=A_1\cdot\frac{1}{1-4/9}=\frac{9}{5}\cdot A_1[/math]

Da A1 in poi l'area aggiunta si ottiene moltiplicandola per 4/9
9/5 A1 è la somma delle infinite parti aggiunte

L'Area totale:

[math]A_0+9/5 A_1 = A_0+9/5⋅1/3 A_0 = A_0+3/5 A_0 = 8/5 A_0[/math]
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