Compito svolto sulle equazioni di secondo grado e di grado superiore
1) Risolvere la seguente equazione di secondo grado contenente radicali.
[math]\frac{2}{x-\sqrt{2}}+1+\frac{4}{x-\sqrt{2}+2}+\frac{12}{x^2-2(\sqrt{2}-1)x+2-2\sqrt{2}}=0[/math]
E' possibile scomporre il polinomio
[math](x^2-2(\sqrt{2}-1)x+2-2\sqrt{2})[/math]
mediante la risoluzione delle
equazioni di secondo grado
[math]\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/math]
con
[math]a=1[/math]
,
[math]b=-2(\sqrt{2}-1)[/math]
e
[math]c=2-2\sqrt{2}[/math]
.
Quindi
[math]\frac{2(\sqrt{2}-1)\pm \sqrt{(2\sqrt{2}-2)^2-4(2-2\sqrt{2})}}{2}=[/math]
[math]\frac{2\sqrt{2}-2\pm \sqrt{8+4-8\sqrt{2}-8+8\sqrt{2}}}{2}=[/math]
[math]\frac{2\sqrt{2}-2\pm \sqrt{4}}{2}=[/math]
[math]\frac{2\sqrt{2}-2\pm 2}{2}=[/math]
a)
[math]\frac{2\sqrt{2}-2+2}{2}=[/math]
[math]\frac{2\sqrt{2}}{2}=[/math]
[math]\sqrt{2}[/math]
b)
[math]\frac{2\sqrt{2}-2-2}{2}=[/math]
[math]\frac{2\sqrt{2}-4}{2}=[/math]
[math]\frac{2(\sqrt{2}-2)}{2}=[/math]
[math](\sqrt{2}-2)[/math]
Le soluzioni vengono scritte al denominatore cambiate di segno:
[math]\frac{2}{x-\sqrt{2}}+1+\frac{4}{x-\sqrt{2}+2}+\frac{12}{(x-\sqrt{2})(x-(\sqrt{2}-2))}=0[/math]
[math]\frac{2}{x-\sqrt{2}}+1+\frac{4}{x-\sqrt{2}+2}+\frac{12}{(x-\sqrt{2})(x-\sqrt{2}+2)}=0[/math]
Dopo aver scomposto i denominatori si devono determinare le condizioni di accettabilità :
affichè l'equazione abbia significato deve essere
[math]x\neq\sqrt{2} \wedge x\neq\sqrt{2}-2[/math]
Il m.c.m. è
[math](x-\sqrt{2})(x-\sqrt{2}+2)[/math]
, quindi
[math]\frac{2(x-\sqrt{2}+2)+(x-\sqrt{2})(x-\sqrt{2}+2)+4(x-\sqrt{2})+12}{(x-\sqrt{2})(x-\sqrt{2}+2)}=0[/math]
[math]2x-2\sqrt{2}+4+x^2-\sqrt{2}x+2x-\sqrt{2}x+2-2\sqrt{2}+4x-4\sqrt{2}+12=0[/math]
Svolgendo i calcoli si ottiene
[math]x^2+8x-2\sqrt{2}x+18-8\sqrt{2}=0[/math]
[math]x^2+(8x-2\sqrt{2})x+(18-8\sqrt{2})=0[/math]
che si scompone utilizzando il metodo di
risoluzione delle equazioni di secondo grado:
[math]x=\frac{-8+2\sqrt{2}\pm \sqrt{(-8+2\sqrt{2})^2-4(18-8\sqrt{2})}}{2}=[/math]
[math]\frac{-8+2\sqrt{2}\pm \sqrt{64+8-32\sqrt{2}-72+32\sqrt{2}}}{2}=[/math]
[math]\frac{-8+2\sqrt{2}\pm \sqrt{0}}{2}=[/math]
a)
[math]\frac{-8+2\sqrt{2}+0}{2}=[/math]
[math]\frac{2(\sqrt{2}-4)}{2}=[/math]
[math]\sqrt{2}-4[/math]
b)
[math]\frac{-8+2\sqrt{2}-0}{2}=[/math]
[math]\frac{2(\sqrt{2}-4)}{2}=[/math]
[math]\sqrt{2}-4[/math]
2)Risolvere la seguente equazione di secondo grado.
[math]\frac{19}{10+10x}+\frac{x+52}{10(x^2-7x+12)}=\frac{13(x-2)}{x^3-6x^2+5x+12}[/math]
Per prima cosa scomponiamo il polinomo
[math](x^2-7x+12)[/math]
mediante la
risoluzione delle equazioni di secondo grado
[math]\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/math]
[math]\frac{7\pm \sqrt{49-48}}{2}=[/math]
[math]\frac{7\pm 1}{2}=[/math]
a)
[math]\frac{7+1}{2}=[/math]
[math]\frac{8}{2}=4[/math]
b)
[math]\frac{7-1}{2}=[/math]
[math]\frac{6}{2}=3[/math]
[math]\frac{19}{10+10x}+\frac{x+52}{10(x-4)(x-3)}=\frac{13(x-2)}{x^3-6x^2+5x+12}[/math]
Poi il polinomio
[math](x^3-6x^2+5x+12)[/math]
con la regola di Ruffini:
il numero che sostituito alla x rende il polinomio nullo è -1;
scomponendo si ottiene
[math](x+1)(x^2-7x+12)[/math]
e scomponendo ancora
si avrà
[math](x+1)(x-4)(x-3)[/math]
[math]\frac{19}{10+10x}+\frac{x+52}{10(x-4)(x-3)}=\frac{13(x-2)}{(x+1)(x-4)(x-3)}[/math]
Ora possiamo determinare le condizioni di accettabilità :
affichè l'equazione abbia significato deve essere
[math]x\neq-1[/math]
[math]\wedge[/math]
[math]x\neq3[/math]
[math]\wedge[/math]
[math]x\neq4[/math]
Successivamente si può proseguire con i calcoli:
il m.c.m. è
[math]10(x+1)(x-4)(x-3)[/math]
, quindi
[math]\frac{19(x-4)(x-3)+(x+52)(x+1)-10 \cdot 13(x-2)}{10(x+1)(x-4)(x-3)}=0[/math]
[math]19(x^2-7x+12)+x^2+x+52x+52-130x+260=0[/math]
[math]19x^2-133x+228+x^2+x+52x+52-130x+260=0[/math]
[math]20x^2-210x+540=0[/math]
Per semplificare i conti si può dividere entrambi i membri dell'equazione per 10:
[math]2x^2-21x+54=0[/math]
[math]x=\frac{21\pm\sqrt{441-432}}{4}=[/math]
[math]\frac{21\pm\sqrt{9}}{4}=[/math]
[math]\frac{21\pm3}{4}=[/math]
a)
[math]\frac{21+3}{4}=[/math]
[math]\frac{24}{4}=6[/math]
b)
[math]\frac{21-3}{4}=[/math]
[math]\frac{18}{4}=\frac{9}{2}[/math]
3)Risolvere la seguente equazione di grado superiore al secondo.
[math](x^2+\frac{1}{x^2})^4-40(x^2+\frac{1}{x^2})^2+144=0[/math]
Sostituendo
[math](x^2+\frac{1}{x^2})[/math]
con t otteniamo un'equazione biquadratica
che ha per incognita t:
[math](x^2+\frac{1}{x^2})=t[/math]
[math]t^4-40t^2+144=0[/math]
Possiamo scomporre mediante la formula
[math]\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/math]
:
[math]t^2=\frac{40\pm\sqrt{40^2-4 \cdot 144}}{2}=[/math]
[math]\frac{40\pm\sqrt{1600-576}}{2}=[/math]
[math]\frac{40\pm\sqrt{1024}}{2}=[/math]
[math]\frac{40\pm32}{2}=[/math]
a)
[math]\frac{40+32}{2}=[/math]
[math]\frac{72}{2}=36[/math]
[math]t=\sqrt{36}=6[/math]
b)
[math]\frac{40-32}{2}=[/math]
[math]\frac{8}{2}=4[/math]
[math]t=\sqrt{4}=2[/math]
Sapendo quindi che
[math](x^2+\frac{1}{x^2})=t[/math]
possiamo scrivere che
A)
[math](x^2+\frac{1}{x^2})=6[/math]
[math]x^4+1=6x^2[/math]
[math]x^4-6x^2+1=0[/math]
[math]x^2=\frac{6\pm\sqrt{36-4}}{2}=[/math]
[math]\frac{6\pm\sqrt{32}}{2}=[/math]
[math]\frac{6\pm4\sqrt{2}}{2}=[/math]
a)
[math]\frac{6+4\sqrt{2}}{2}=[/math]
[math]\frac{2(3+2\sqrt{2})}{2}=[/math]
[math]3+2\sqrt{2}[/math]
[math]x=\pm\sqrt{3+2\sqrt{2}}[/math]
b)
[math]\frac{6-4\sqrt{2}}{2}=[/math]
[math]\frac{2(3-2\sqrt{2})}{2}=[/math]
[math]3-2\sqrt{2}[/math]
[math]x=\pm\sqrt{3-2\sqrt{2}}[/math]
Per risolvere questi radicali si applica la regola dei radicali doppi:
[math]\sqrt{a+\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}+\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}[/math]
[math]\sqrt{a-\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a+\sqrt{a^2-b}}}{2}-\frac{\sqrt{a-\sqrt{a^2-b}}}{2}[/math]
Quindi:
[math]\pm\sqrt{3+2\sqrt{2}}=\pm\sqrt{3+\sqrt{8}}=[/math]
[math]\pm(\sqrt{\frac{3+\sqrt{9-8}}{2}}+\sqrt{\frac{3-\sqrt{9-8}}{2}})=[/math]
[math]\pm(\sqrt{\frac{3+\sqrt{1}}{2}}+\sqrt{\frac{3-\sqrt{1}}{2}})=[/math]
[math]\pm(\sqrt{\frac{3+1}{2}}+\sqrt{\frac{3-1}{2}})=[/math]
[math]\pm(\sqrt{\frac{4}{2}}+\sqrt{\frac{2}{2}})=[/math]
[math]\pm(\sqrt{2}+\sqrt{1})=[/math]
[math]\pm(\sqrt{2}+1)[/math]
[math]\pm\sqrt{3-2\sqrt{2}}=\pm\sqrt{3-\sqrt{8}}=[/math]
[math]\pm(\sqrt{\frac{3+\sqrt{9-8}}{2}}-\sqrt{\frac{3-\sqrt{9-8}}{2}})=[/math]
[math]\pm(\sqrt{\frac{3+\sqrt{1}}{2}}-\sqrt{\frac{3-\sqrt{1}}{2}})=[/math]
[math]\pm(\sqrt{\frac{3+1}{2}}-\sqrt{\frac{3-1}{2}}=[/math]
[math]\pm(\sqrt{\frac{4}{2}}-\sqrt{\frac{2}{2}})=[/math]
[math]\pm(\sqrt{2}-\sqrt{1})=[/math]
[math]\pm(\sqrt{2}-1)[/math]
B)
[math](x^2+\frac{1}{x^2})=2[/math]
[math]x^4+1=2x^2[/math]
[math]x^4-2x^2+1=0[/math]
[math]x^2=\frac{2\pm\sqrt{4-4}}{2}=[/math]
[math]\frac{2\pm 0}{2}=1[/math]
[math]x=\pm\sqrt{1}=\pm1[/math]
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