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Combinatoria - Disuguaglianze - Esercizi


Ecco di seguito degli esercizi svolti, commentati passo dopo passo.

Esercizio 1
Abbiamo a disposizione i coefficienti 2 e 3, e tre variabili x, y, z.
Quanti sono i monomi composti da tali coefficienti e tali variabili(non necessariamente devono comparire tutti), con grado minore o uguale a 5?

Svolgimento
Considerare un monomio a tre variabili di grado minore o uguale a 5 significherebbe considerare gli esponenti delle variabili x, y e z.
Ciò implica a trovare tutte le coppie di interi positivi (x, y, z) tali che x+y+z 5, che sono

[math]5+3 \choose 5[/math]
[math]= 56[/math]
Avendo a disposizione 2 coefficienti, moltiplichiamo il valore rilevato per 2:
[math]56 * 2 = 112[/math]
monomi in totale
Esercizio 2
Possiedo 8 palline e 5 ceste. In quanti modi posso mettere delle palline all'interno di queste, considerando che posso lasciare anche delle palline al di fuori di esse?

Svolgimento
Il problema implica ad analizzare tutti i gruppi di 5 numeri interi positivi che sommati tra loro danno un valore minore o uguale a 8. È necessario specificare anche un valore minore di 8 poiché ci sono delle palline che potrebbero rimanere fuori dalle ceste.
La soluzione del problema è quindi

[math]8+5 \choose 5[/math]
=
[math]13 \choose 8[/math]
[math] = 1287[/math]
modi possibili
Olimpiadi della Matematica - Semifinale Nazionale 2018 - Problema 12
I circuiti del tempo sono stati danneggiati da un fulmine: ora la DeuLerean può raggiungere solo gli anni di quattro cifre tali che la cifra delle migliaia sia maggiore o uguale alla somma delle altre tre. “Poco male” dice DOC, e
calcola rapidamente in quanti anni diversi può viaggiare. Che numero trova? Si intende che un numero di quattro
cifre ha la cifra delle migliaia non nulla.

Svolgimento
È molto semplice, bisogna porre tutti i casi in cui ci sono 3 interi positivi che sommati danno un valore minore o uguale a 1, 2, 3... fino a 9, perché nel nostro sistema di numerazione, la cifra più alta che può avere un numero è 9.
Quindi troviamo tutte le terne (a, b, c) di numeri interi tali che a+b+c<= 1, 2, e così via.

[math]4 \choose 3[/math]
+
[math]5 \choose 3[/math]
+
[math]6 \choose 3[/math]
+
[math]7 \choose 3[/math]
+
[math]8 \choose 3[/math]
+
[math]9 \choose 3[/math]
+
[math]10 \choose 3[/math]
+
[math]11 \choose 3[/math]
+
[math]12 \choose 3[/math]
[math]=714[/math]
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