Centro e diametri di una conica

Centro e diametri di una conica

Definizione
Si dice diametro di una conica non degenere C ogni retta propria che sia retta polare di un punto improprio di E^2.
Si dice centro di C il polo C della retta impropria r∞.
Osservazione: Come conseguenza della Legge di reciprocit`a, si ha che tutti i diametri contengono il centro di C.
Proposizione
Sia C una conica non degenere di E^2 avente, rispetto al riferimento cartesiano
R = (O, B~), discriminante A ∈ S3(R).
Se C `e una parabola, il suo centro `e il punto improprio individuato dalla
direzione del vettore v ≡B~ (A01, A02), e i suoi diametri sono tutti paralleli a v;
se C `e una iperbole o una ellisse, il suo centro `e il punto proprio di coordinate cartesiane C ≡R.
Le coniche aventi centro proprio (cio`e le iperboli e le ellissi) sono dette coniche a centro.
Definizione
Si dice asintoto di una conica non degenere C ogni retta propria tangente a C in
un suo punto improprio.
Osservazione: Le iperboli hanno due asintoti; parabole ed ellissi non hanno asintoti.
Assi e vertici
Definizione
Sia C una conica non degenere di E^2. Si dice asse di C ogni diametro πP∞ di C che sia ortogonale alla direzione individuata dal suo polo P∞.
Si dice vertice di C ogni punto di intersezione del supporto proprio IP(C) con un asse di C.
Proposizione
Sia C una conica non degenere di E^2 avente, rispetto al riferimento cartesiano R, discriminante A ∈ S3(R) e sia M00 il minore complementare dell’elemento a00 in A. Una retta r `e un asse di C se e soltanto se r = πP∞, dove P∞ ≡R [0, l, m], ed esiste λ ∈ R − {0}.Gli assi di C sono quindi le rette polari dei punti impropri di E^2 individuati dalle direzioni degli autovettori di M00, relativi ad autovalori non nulli.