Basi di uno spazio vettoriale

Basi di uno spazio vettoriale

Definizione

Una base di uno spazio vettoriale V `e un suo sistema di generatori linearmente
indipendente.

Proposizione

Se V ha una base finita costituita da n elementi, allora ogni sottoinsieme linearmente indipendente di V non può contenere pi`u di n vettori.

Teorema della base

Se V `e uno spazio vettoriale che ammette un sistema di generatori finito, si ha:
(a) V ammette almeno una base finita. ( ma anche più di una).
(b) Tutte le basi di V contengono lo stesso numero (finito) di elementi.
Conseguenze del teorema della base

Definizione

La dimensione di uno spazio vettoriale finitamente generato `e il numero degli elementi di una sua base.

Teorema

Se dimensione V = n, allora: ogni sottoinsieme linearmente indipendente di V pu`o contenere al massimo n vettori ed è una base di V se e solo se ne contiene esattamente n;ogni sistema di generatori per V contiene come minimo n vettori ed è una base di V se e solo se ne contiene esattamente n ( non di più e non di meno).

Teorema del completamento ad una base

Se dim V = n, dati h vettori v1, . . . , vh di V linearmente indipendenti esistono sempre n − h vettori w1, . . . ,wn−h di V tali che {v1, . . . , vh,w1, . . . ,wn−h} `e una base di V.