Ampliamento proiettivo di uno spazio euclideo

Ampliamento proiettivo di uno spazio euclideo

Definizione
Si dice ampliamento proiettivo (o completamento proiettivo) di uno spazio euclideo E^n l’insieme P^n = E^n ∪ π∞, dove π∞, detto iperpiano improprio di E
n , `e l’insieme delle direzioni delle rette di E^n
(ovvero, i sottospazi vettoriali di dimensione uno di E~n).
punto proprio: P ∈ En
punto improprio: P∞ ∈ π∞ (P∞ = L(~u), ~u ∈ E~n, ~u diverso da ~0).

Coordinate omogenee

Fissato un riferimento cartesiano R = (O, B~)
Definizione
Dato un punto proprio P ≡R (y1, y2, . . . , yn), si dice (n + 1)-pla di coordinate omogenee di P rispetto a R ogni (n + 1)-pla (x0, x1, . . . , xn) tale che:
x1x0= y1,x2x0= y2, . . . ,xnx0= yn.
Dato un punto improprio P∞ = L(~u) con ~u ≡B~ (l1, l2, . . . , ln), si dice (n+ 1)-pladi coordinate omogenee di P∞ rispetto a R ogni (n + 1)-pla (x0, x1, . ., xn) tale che: x0 = 0 ed esiste λ ∈ R − {0}, per cui (x1, . . . , xn) = λ · (l1, . . . , ln).
Ampliamento proiettivo per n = 2
Notazioni: P ∈ E2 , coordinate cartesiane P ≡ (x, y)
coordinate omogenee: P ≡ [x0, x1, x2] con x =x1x0, y =x2//*/*/*///x0
Equazione cartesiana di una retta r : ax + by + c = 0
Equazione omogenea di r : ax1 + bx2 + cx0 = 0
punto improprio di r : P∞ ≡ [0, b, −a]
Equazione della retta impropria r∞ : x0 = 0