[math] \vec{F}(x; y) = (6x^2 + a y^2) \vec{i} + 10 xy\vec{j} [/math]
è conservativo nel proprio dominio; per tale valore di a, si consideri il punto [math] B = (1; -1) [/math]
e si determini il punto P dell’asse x tale che risulti
[math] \int_{\gamma} \vec{F} \cdot d\vec{s} = 9 [/math]
essendo
[math] \gamma [/math]
il segmento BP percorso da B verso P .Il dominio del campo è
[math] \mathbb{R^2} [/math]
; per la conservatività in [math] \mathbb{R^2} [/math]
(che è un insieme aperto semplicemente connesso) è necessaria e sufficiente l’uguaglianza delle derivate in croce, cioè che risulti
[math] \frac{\partial}{\partial y} (6x^2 + ay^2) = \frac{\partial}{\partial x} (10xy), \forall (x; y) \in \mathbb{R^2} [/math]
Deve quindi risultare, in tutto
[math] \mathbb{R^2}[/math]
, [math] 2ay = 10y [/math]
, da cui [math] 2a=10 [/math]
da cui [math] a = 5 [/math]
.Il campo vettoriale da considerare è dunque
[math] \vec{F}(x; y) = (6x^2 + 5y^2) \vec{j} + 10xy\vec{j} [/math]
Il punto P da determinare ha coordinate
[math] (p; 0) [/math]
con [math] p \in \mathbb{R} [/math]
. Per calcolare l’integrale del campo lungo [math] \gamma [/math]
, conviene utilizzare un potenziale del campo stesso in [math]\mathbb{R^2}[/math]
, ad esempio [math] U(x;y) = 2^3 + 5xy^2 [/math]
e risulta:
[math] \int_{\gamma} \vec{F} \cdot d\vec{s} = U(p; 0) - U(1; -1) = 2p^3 - (2 + 5) = 2p^3 - 7 [/math]
Deve risultare
[math] 2p^3 – 7 = 9[/math]
, da cui [math] p^3 = 8[/math]
da cui [math] p = 2[/math]
; si trova così [math] P = (2; 0)[/math]
.
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