Applicazioni delle equazioni differenziali alla fisica

Le equazioni differenziali possono essere applicate in molti campi, e in particolare trovano notevole riscontro nella fisica; riportiamo diverse applicazioni che esse possono avere.

Moto armonico semplice

Consideriamo un corpo di massa m, soggetto a una forza elastica F, proporzionale all'ascissa x, misurata dalla posizione di equilibrio.

Poiché l'intensità della forza elastica è

, dove

è la costante elastica della molla, l'equazione differenziale che caratterizza il moto è la seguente:

[ \begin{cases} F = ma \ F = -kx end{cases} Rightarrow m cdot frac{d^2x}{dt^2} = -kx Rightarrow frac{d^2x}{dt^2} + frac{k}{m}x = 0 ]

Le soluzioni della precedente equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine possono essere scritte nella forma:

[ x(t) = c_1 cos \sqrt{frac{k}{m}}t + c_2 \sin \sqrt{frac{k}{m}}t ]

definendo, poi, delle opportune costanti

e ( phi ), che si determinano in base alle condizioni iniziali, nel seguente modo:

[ A = \sqrt{c_1^2 + c_2^2} ,,, , ,,, \begin{cases} cos phi = frac{c_1}{A} \ \sin phi = frac{c_2}{A} end{cases} ]

possiamo scrivere la soluzione nel seguente modo:

[ x(t) = A cosBig( \sqrt{frac{k}{m}t} - phiBig) ]

Ora, facendo alcune considerazioni riguardo le condizioni iniziali, e sostituendo i valori noti nella precedente equazione, la soluzione diventa:

[ x(t) = x_0 cos \sqrt{frac{k}{m}} t ]

Osserviamo che, effettivamente, il periodo del moto armonico è dato proprio dalla formula:

[ T = 2 pi \sqrt{frac{m}{k}} ]

Equazioni differenziali e circuiti elettronici

Consideriamo ora un circuito di resistenza R, induttanza L, ed un condensatore di capacità C, e supponiamo che nell'istante iniziale

, in cui il circuito è chiuso, sia presente la carica q0 sulle armature dl condensatore.

Per studiare l'intensità

della corrente di scarica del condensatore, chiamiamo V1-V2 la differenza di potenziale tra le armature; si ha quindi che:

[ q = q(t) = C(V_1 - V_2) ]

dove

è la carica dell'armatura a potenziale maggiore.

l'intensità

della corrente è data, quindi, da:

[ i = -frac{dq}{dt} ]

e, ricordando la legge di Ohm generalizzata, possiamo scrivere:

[ V_1 - V_2 - Lfrac{di}{dt} = Ri ]

da cui possiamo ottenere la seguente equazione differenziale lineare omogenea di secondo ordine, a coefficienti costanti:

[ Lfrac{d^2q}{dt^2} + R frac{dq}{dt} + frac{1}{C} q = 0 ]

Risolvendo l'equazione differenziale, si può studiare il modo in cui varia l'intensità di corrente che circola a spese della scarica del condensatore.

In particolare, se l'equazione differenziale ammette due soluzioni reali distinte (( Delta gt 0 )), allora l'intensità di corrente ammette un picco massimo, e poi tende asintoticamente a zero, per t che tende all'infinito.

Se l'equazione differenziale ammette due soluzioni reali coincidenti (( Delta = 0 )), allora la corrente di scarica è una corrente alternata, con intensità decrescente in modo esponenziale.

Se, invece, l'equazione differenziale non ammette soluzioni (( Delta lt 0 )), l'intensità di corrente tende asintoticamente a zero.

Modello per la crescita di una popolazione

Una popolazione di conigli cresce in modo proporzionale al numero di conigli in vita secondo la costante

al mese. Se la popolazione iniziale è costituita da 2 conigli, quanti conigli ci saranno dopo 1 anno? Dopo quanti anni saranno stati generati 1.000.000 di conigli?

L'equazione del tasso di crescita è

dove

è il tasso di crescita, quindi la derivata della funzione

che esprime la popolazione di conigli.

A questa equazione si aggiunge la condizione iniziale

.

Risolviamo l'equazione differenziale

( y' = frac{1}{4} y \rightarrow frac{dy}{dt} = frac{1}{4} y \rightarrow frac{1}{y} dy = frac{1}{4} dt \rightarrow log |y| = frac{1}{4} t + c \rightarrow )

( |y| = e^{frac{1}{4}t+c} \rightarrow y = pm e^c cdot e^{frac{1}{4}t} )

L'integrale generale è allora ( y = ce^{frac{1}{4}t} )

Tenendo conto della condizione iniziale

( y(0) = 2 \rightarrow c cdot e^{frac{1}{4}cdot 0} = 2 \rightarrow c = 2 )

La funzione

che esprime la quantità di conigli generati è data da ( y = 2e^{frac{1}{4}t} )

Dove

indica il numeri di mesi, in quanto il tasso di crescita indicato è mensile.

Pertanto dopo 12 mesi si hanno ( t = 12 \rightarrow y(12) = 2e^{frac{12}{4}} = 2 cdot e^3 cong 40.17 ).

Per rispondere alla seconda domanda, dopo quanti anni saranno stati generati 106 conigli, risolviamo la seguente equazione

( 2e^{frac{1}{4}t} = 10^6 \rightarrow e^{frac{1}{4}t} = frac{10^6}{2} = 5 cdot 10^5 \rightarrow frac{1}{4}t = log(5 cdot 10^5) \rightarrow )

( t = 4 cdot log(5 cdot 10^5) cong 52.49,, \text{mesi} )

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