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Applicazione degli integrali definiti alla geometria piana


Esaminiamo un classico problema di analisi matematica in cui si chiede la scrittura dell’equazione di una curva, una parabola in questo caso, fornendo opportune condizioni e poi il calcolo dell’area della parte di piano delimitata da due rette e l’arco di parabola. Per la risoluzione useremo elementi geometria analitica e di analisi.
Esaminiamo il testo del problema:
Scrivere l’equazione della parabola passante per il punto A(4;0) e per l’origine degli assi cartesiani e tangente, sempre in O, alla retta di coefficiente angolare m=2. Su questa tangente considerare il punto P di ascissa 3 e da P condurre l’altra tangente alla parabola nel punto T. Calcolare la misura dell’area della parte di piano compresa tra le due tangenti e l’arco OT di parabola.
Il primo passo è quello di determinare l’equazione della parabola che soddisfa le condizioni richieste. Sia
[math]y=ax^2+bx+c[/math]
, l’equazione della generica parabola con asse parallelo all’asse delle ordinate, essendo tre i parametri (a,b,c) servono tre equazioni:
  • imponiamo il passaggio per
    [math]A=(4;0)[/math]
  • imponiamo l’annullamento di c, dovendo passare per l’origine;
  • imponiamo che la derivata prima valutata in
    [math]x=0[/math]
    sia pari a 2 (condizione di tangenza)
  • Scriviamo il nostro sistema:
    [math]\begin{cases}0=16a+4b+c \\c=0 \\f'(0)=2 \end{cases}[/math]

    Calcoliamo la derivata prima della nostra funzione
    [math]f(x)=ax^2+bx+c[/math]
    :
    [math]f’(x)=2ax+b[/math]
    e imponendo che valga 2 in
    [math]x=0[/math]
    , abbiamo:
    [math]b=2[/math]

    Torniamo allora al nostro sistema:
    [math]\begin{cases}0=16a+4b+c \\c=0 \\b=2 \end{cases}[/math]

    [math]\begin{cases}16a+8=0 \\c=0 \\b=2 \end{cases}[/math]

    [math]\begin{cases}a=-\frac{1}{2} \\b=2 \\c=0 \end{cases}[/math]

    Ora possiamo scrivere l’equazione della parabola che indichiamo con
    [math]\gamma[/math]
    :
    [math]\gamma: -\frac{1}{2}x^2+2x[/math]

    La nostra parabola ha la concavità rivolta verso il basso, essendo a<0 e interseca l’asse della ascisse proprio in A e nell’origine:

    La tangente nell’origine ha equazione
    [math]y=2x[/math]
    . Troviamo ora l’equazione della seconda tangente passante per il punto P di r, di ascissa 3. L’ordinata di P la ricaviamo sostituendo 3 nell’equazione di r:
    [math]y_P=2(x_P)=6[/math]

    Scriviamo ora l’equazione del fascio proprio di rette di centro
    [math]P(3,6)[/math]
    e poniamo a sistema con la parabola imponendo poi la condizione di tangenza, attraverso l’annullamento del delta:
    [math]\begin{cases}y-y_P=m(x-x_P) \\y=-\frac{1}{2} x^2+2x\end{cases}[/math]
    [math]\begin{cases}y-6=m(x-3) \\y=-\frac{1}{2} x^2+2x \end{cases}[/math]

    Sostituendo nell’equazione della parabola:
    [math]\begin{cases}y=m(x-3)+6\\x^2+2(m-2)x-6(m-2)=0 \end{cases}[/math]

    Ora il discriminante dell’equazione di secondo grado va posto uguale a zero:
    [math]\frac{\Delta}{4} =(m-2)^2+6(m-2)[/math]

    [math]\ (m-2)^2+6(m-2)=0[/math]

    Da cui le soluzioni:
    [math]m=2[/math]

    [math]m=-4[/math]

    Il primo valore è il coefficiente angolare di r, il secondo è quello della tangente in T:
    [math]t: y=-4x+18[/math]

    Troviamo le coordinate del punto T
    [math](x_T,y_T)[/math]
    , imponiamo perciò che la derivata prima in T sia pari a -4:
    [math]-x_T+2=-4[/math]

    da cui:
    [math]x_T=6[/math]
    e sostituendo nell’equazione della retta T, abbiamo anche l’ordinata di T:
    [math]y_T=-6[/math]
    ovvero :
    [math]T=(6;-6)[/math]

    Ecco ora l’area delimitata dalle rette r e t, e dall’arco di parabola OT di cui calcolare il valore:
    Suddividiamo l’area in due parti. La prima compresa tra la retta r e la parabola
    [math]\gamma[/math]
    calcolata integrando tra 0 e 3. La seconda compresa tra la retta t e la parabola, calcolata integrando tra 3 e 6.
    L’area totale è la somma dei due integrali:

    [math]\int_0^3 [2x-(-\frac{1}{2}x^2+2x)]dx+\int_3^6 [-4x+18-(-\frac{1}{2}x^2+2x)]dx[/math]

    Sono due semplici integrali polinomiali:


    La misura dell'area vale la loro somma:
    [math]Area =9[/math]
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