Polinomi
La somma algebrica di più monomi (non tutti simili fra loro) si chiama polinomio. I singoli monomi prendono il nome di termini del polinomio. I binomi e i trinomi sono polinomi costituiti da due e tre termini rispettivamente.
Il grado di un polinomio è il massimo fra i gradi dei suoi termini.
2 xy2 + 3 x2 + 5 y è un polinomi di terzo grado, in quanto, fra i tre monomi che lo costituiscono, quello di grado massimo è 2 xy2, ossia un monomio di terzo grado.
Un polinomio omogeneo è un polinomio costituito da termini aventi lo stesso grado (es. 2 xy + 3 x2 + y2).
La somma algebrica di due o più polinomi è un polinomio avente per termini tutti quelli dei polinomi addendi. Dopo aver scritto la somma di più polinomi si deve operare la riduzione dei termini simili, ossia effettuare la somma algebrica degli eventuali monomi simili.
Esempio -> (4 xy2 - 3 x2 + 5 y) + (4 x2 + 2 y) =
= 4 xy2 - 3 x2 + 5 y + 4 x2 + 2 y = 4 xy2 + x2 + 7 y
Similmente, la differenza di due polinomi è la somma del primo con l'opposto del secondo, ossia il secondo polinomio in cui sia stato cambiato il segno a tutti i termini.
Esempio -> (4 xy2 - 3 x2 + 5 y) - (4 x2 + 2 y) =
= 4 xy2 - 3 x2 + 5 y - 4 x2 - 2 y = 4 xy2 - 7 x2 + 3 y
La moltiplicazione di un polinomio per un monomio può essere vista come una applicazione della proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione algebrica. Il prodotto di un polinomio per un monomio è un polinomio i cui termini si ottengono moltiplicando ciascun termine del polinomio per il monomio.
Esempio -> (4 x2 - 3 x - 2 y + 3 z) x (2 xy) =
= 8 x3y - 6 x2y - 4 xy2 - 6 xyz
Un polinomio si dice divisibile per un monomio quando tutti i termini (ossia tutti i monomi) del polinomio sono divisibili per il monomio. Quando un polinomio è divisibile per un monomio, il quoziente (per la proprietà distributiva del quoziente rispetto alla somma) è uguale al polinomio i cui termini si ottengono dividendo ciascun termine del polinomio per il monomio.
Esempio -> (4 a3b4 - 8 a2b + 3 a2b2 - 6 a4b) : (2 a2b) =
= 2 ab3 - 4 + 3/2 b - 3 a2
Quando il polinomio non è divisibile per il monomio si ha una frazione algebrica.
Anche la moltiplicazione di polinomi può essere vista come un'applicazione della proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione. Il prodotto fra due polinomi è uguale al polinomio i cui termini si ottengono moltiplicando ciascun termine del primo polinomio per tutti i termini del secondo.
(a + b + c) x (x + y) = a x (x + y) + b x (x + y) + c x (x + y)
Prodotti notevoli
Nelle applicazioni si presentano spesso alcune moltiplicazioni di particolari polinomi che danno luogo a risultati facilmente memorizzatili e quindi ottenibili in modo più semplice e rapido:
1. (a + b) x (a - b) = a2 - b2
2. (a + b)2 = a2 + 2 ab + b2
3. (a - b)2 = a2 - 2 ab + b2
4. (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 ab + 2 ac + 2 bc
5. (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3
6. (a - b)3 = a3 - 3 a2b + 3 ab2 - b3
7. a3 + b3 = (a + b) x (a2 - ab + b2)
8. a3 - b3 = (a - b) x (a2 + ab + b2)
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