Introduzione ai limiti e metodi per svolgere le forme indeterminate

Introduzione ai limiti e spiegazione

Una funzione ha per limite il numero L, quando x tende a un certo valore di x, se i valori della funzione diventano sempre più vicini a L, quando x si avvicina a x₀. Una funzione ha per limite il limite di x che tende a x₀ nella funzione uguale a L. L è il valore a cui si avvicina la funzione quando x si avvicina a x₀. Se la funzione è continua in x₀, allora il limite di x che tende a x₀ di f(x) è uguale a f(x₀).

Per esempio, il limite che tende a 2 di 4x - 8 è 4 per 2 - 8, 8 - 8 uguale a 0. Se diciamo che il limite di x che tende a 2 di 4x - 8 è 0, ci dice che la funzione nel punto P(2,0) è 0. Ovviamente i limiti non si possono sostituire, ma possiamo imbatterci davanti alle cosiddette forme indeterminate come 0 su 0. Lavorando con x che tende a più o meno infinito, possiamo imbatterci in infinito fratto infinito, 1 alla infinito, ecc.

Esempio più regola

Il limite di x che tende a 2 di x² + 7 tutto fratto x - 2 è uguale a 4 + 7 tutto fratto 2 - 2 che è uguale a 11 fratto 0 e ovviamente è impossibile questo limite, quindi calcoliamo il limite per un numero n infinitamente vicino a 2, cioè 2,000001 e 1,99999998, e vediamo che il risultato viene lo stesso ma viene 11 fratto 0⁺ e 11 fratto 0⁻. Essendo questi numeri molto vicini a 0, infinitamente vicini a 0, 11 fratto 0⁺ farà più infinito e 11 fratto 0⁻ farà meno infinito. Quindi il limite bilaterale non esiste perché il limite non ci consegna un numero finito.

Oltre i limiti con x che tende a x₀, abbiamo i limiti con x che tende a più o meno infinito. Ci descrivono come la funzione si comporta andando verso l’infinito, quindi comportamenti che non possiamo vedere ad occhio nudo.

Esempio 1

Limite di x che tende a più infinito di (x + 3) fratto 2 è uguale a infinito + 3 fratto 2 che è uguale a infinito fratto 2, che è uguale a infinito.

Secondo esempio più regola

Limite di x che tende a infinito di (x² + 3x + 4) fratto (x² - 4), è uguale a infinito su infinito, una forma indeterminata. Qua possiamo svolgere in due modi. Ora raccogliamo la x di grado maggiore sia al numeratore che al denominatore: quindi raccogliamo x² e il numeratore diventa x² che moltiplica (1 + 3/x + 4/x²), tutto fratto x² che raccoglie (1 - 4/x²). A questo punto semplifichiamo la x² e diventa il limite di x che tende a infinito di (1 + 3/x + 4/x²) fratto (1 - 4/x²), che fa 1.

Se no possiamo fare de l’Hopital, che è un teorema che ci permette di fare la derivata del numeratore e del denominatore finché non possiamo calcolare il limite di x che tende a infinito senza avere forme indeterminate. In questo caso, la derivata al numeratore è 2x + 3 e al denominatore 2x. Se sostituiamo più infinito, ci accorgiamo che è ancora una forma indeterminata, quindi lo rifacciamo: la derivata al numeratore di 2x + 3 è 2 e al denominatore 2x è 2, e 2 fratto 2 è uguale a 1. Come vediamo il risultato è lo stesso.

I limiti sono un concetto molto importante e non capirlo sarebbe davvero un guaio. Per ogni dubbio o chiarimento chiedi, se il mio foglio non è chiaro chiedi. Chiedi in ogni situazione.