Equazioni di primo grado - Spiegazione

Equazioni di primo grado e problemi

​Definizione: Un equazione di primo grado e un uguaglianza tra due espressioni algebriche contenenti una incognita (la x). Risolvere l equazione significa trovare il valore numerico che rende l uguaglianza vera. Al liceo l obiettivo e arrivare sempre alla forma normale ax = b.

I principi di equivalenza

Il metodo di risoluzione si basa su due regole fondamentali:
Primo Principio: Aggiungendo o sottraendo la stessa quantità a entrambi i membri, l equazione non cambia. Questo ci permette di usare la regola del trasporto: si può spostare un termine da una parte all altra dell uguale purche gli si cambi il segno. Se e positivo diventa negativo e viceversa.
Secondo Principio: Moltiplicando o dividendo entrambi i membri per uno stesso numero diverso da zero, l equazione resta equivalente. Serve alla fine per isolare la x o all inizio per eliminare i denominatori.

Procedura di svolgimento

Punto A: Svolgere tutti i calcoli letterali. Bisogna sciogliere le parentesi tonde e quadre facendo i prodotti tra monomi e polinomi. Occhio ai prodotti notevoli come il quadrato di binomio o la somma per differenza, perche i professori li mettono apposta per vedere se ti ricordi come si espandono.
Punto B: Se ci sono frazioni, bisogna trovare il minimo comune multiplo tra tutti i denominatori presenti. Una volta calcolato, si moltiplicano tutti i termini per il mcm e si cancellano i denominatori.
Punto C: Separare le x dai numeri. Si portano tutti i termini con la x a sinistra dell uguale e tutti i numeri a destra. Fondamentale ricordarsi di cambiare il segno a ogni termine che viene spostato.
Punto D: Sommare i termini simili per ottenere una forma pulita del tipo ax = b.
Punto E: Ricavare la x dividendo il termine noto (b) per il coefficiente della x (a). Quindi x = b/a.

Discussione del risultato

Una volta finiti i calcoli, l equazione puo essere:
Determinata: se ottieni un valore preciso (esempio x = 2).
Impossibile: se arrivi a una scrittura falsa come 0 = 5. In questo caso non esiste nessuna x che risolva l esercizio.
Indeterminata: se arrivi a 0 = 0. Significa che l equazione e in realta un identita e ogni numero e una soluzione valida.

Traduzione dei problemi in equazioni

Nelle verifiche c e sempre la parte del problema testuale. Il segreto e chiamare x la quantita incognita e tradurre le parole in simboli:
​Il doppio di un numero diventa 2x.
​Il triplo di un numero aumentato di due diventa 3x + 2.
​Il numero precedente a x si scrive x - 1.
​La terza parte di un numero e x/3.
Una volta scritta l equazione seguendo la traccia, basta applicare i passaggi visti sopra. Se il risultato non e logico rispetto al testo (esempio un numero di persone negativo), probabilmente l impostazione e sbagliata.

​1. Equazione determinata (Soluzione unica)
3x - 5 = x + 7
3x - x = 7 + 5
2x = 12 x = 6
​2. Equazione impossibile (Nessuna soluzione)
2(x - 3) = 2x + 4
2x - 6 = 2x + 4
2x - 2x = 4 + 6
0 = 10 {impossibile}
​3. Equazione indeterminata (Infinite soluzioni)
5x + 2 = 5x + 2
5x - 5x = 2 - 2
0 = 0 {indeterminata}