Sistemi: {(a/bx+b/ay=a+b),(a/by+b/ax=a+b):}

di _Steven

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Si risolva il seguente sistema di equazioni letterali

[math]\begin{cases} a/bx+b/ay=a+b \\ a/by+b/ax=a+b \ \end{cases}[/math]

[math]a,b!=0[/math]

Salta subito all'occhio che i secondi membri delle equazioni sono uguali, perciò possiamo tentare la strada del confronto tra primi membri.

Eseguendolo, otteniamo

[math]a/bx+b/ay=a/by+b/ax[/math]

Possiamo a questo punto calcolare il minimo comune multiplo, e procedere come segue

[math]frac{a^2x+b^2y}{ab}=frac{b^2x+a^2y}{ab}[/math]

Eliminando i denominatori

[math]a^2x+b^2y=b^2x+a^2y[/math]

Portando da un parte tutti i termini con la

[math]x[/math]

e dall'alta quelli con la

[math]y[/math]

avremo

[math]a^2x-b^2x=a^2y-b^2y[/math]

Raccogliendo al primo membro

[math]x[/math]

e al secondo

[math]y[/math]

avremo

[math]x(a^2-b^2)=y(a^2-b^2)[/math]

Semplificando la parentesi, si ottiene

[math]x=y[/math]

ponendo la condizione opportuna

[math]a^2-b^2!=0[/math]

Questa informazione possiamo usarla inserendola in un'equazione originaria, ad esempio

[math]a/bx+b/ay=a+b[/math]

siccome

[math]x=y[/math]

otteniamo

[math]a/bx+b/ax=a+b[/math]

ovvero

[math]frac{a^2x+b^2x}{ab}=frac{ab(a+b)}{ab}[/math]

togliendo i denominatori

[math]a^2x+b^2x=ab(a+b)[/math]

raccogliendo

[math]x[/math]

[math]x(a^2+b^2)=ab(a+b)[/math]

[math]x=frac{ab(a+b)}{a^2+b^2}[/math]

L'incognita

[math]y[/math]

avrà lo stesso valore della

[math]x[/math]

poichè abbiamo trovato prima che

[math]x=y[/math]

FINE

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