Si risolva la seguente equazione
[math]3^{2x}-2^{2x+1}-6^x=0[/math]
Iniziamo a dividere il tutto per
[math]6^x[/math]
senza problemi, dal momento che [math]6^x !=0[/math]
[math]\forall x \in \mathbb{R}[/math]
e otteniamo
[math]3^{2x}/6^{x}-(2 \cdot 2^{2x})/6^x-1=0[/math]
[math](3^x \cdot 3^x)/(3^x \cdot 2^x)-(2 \cdot 2^x \cdot 2^x)/(2^x \cdot 3^x)-1=0[/math]
[math]3^x/2^x-2 \cdot 2^x/3^x-1=0[/math]
[math](3/2)^x-2 \cdot (2/3)^x-1=0[/math]
A questo punto risulta evidente che dobbiamo porre
[math](3/2)^x=t>0[/math]
e inoltre risulta anche essere
[math](2/3)^x=(3/2)^{-x}=t^{-1}[/math]
Pertanto l'equazione diventa
[math]t-2t^{-1}-1=0[/math]
[math]t-2/t-1=0[/math]
[math]t^2-t-2=0[/math]
quest'ultima equazione restituisce due soluzioni
[math]t_1=-1[/math]
[math]t_2=2[/math]
La prima è da scartare, in quanto
[math]t[/math]
è un esponenziale (positivo per definizione).
[math](3/2)^x=2->x=\log_(3/2) 2=1/(\log_2 3/2)=1/(\log_2 3-\log_2 2)=1/(\log_2 3-1)[/math]
Nell'ultimo passaggio sono state usate le comuni proprietà dei logaritmi.
FINE
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