Si risolva la seguente equazione
[math]2\\logx-\\log(2x+1)+\\log3=\\log(x-2)[/math]
La prima cosa da fare è ricordare che la funzione logaritmo è definita solo per valori positivi dell'argomento.
Perciò devono essere soddisfatte le seguenti disequazioni
[math]\begin{cases} x>0 \\ 2x+1>0 \\ x-2>0 \ \end{cases}[/math]
[math]\begin{cases} x>0 \\ x> -1/2 \\ x>2 \ \end{cases}[/math]
Per
[math]x>2[/math]
tutte le disequazioni sono soddisfatte. Pertanto eventuali radici devono appartenere in quell'insieme di numeri.
Passiamo alla risoluzione
[math]2\\logx-\\log(2x+1)+\\log3=\\log(x-2)[/math]
Applicando la proprietà
[math]n\\loga=\\loga^n[/math]
[math]\\logx^2+\\log3=\\log(x-2)+\\log(2x+1)[/math]
Applicando la nota proprietà dei logaritmi
[math]\\loga+\\logb=\\logab[/math]
si ha[math]\\log3x^2=\\log((x-2)(2x+1))[/math]
Confrontando gli argomenti
[math]3x^2=(x-2)(2x+1)[/math]
[math]3x^2=2x^2+x-4x-2[/math]
[math]x^2+3x+2=0[/math]
Quest'equazione di secondo grado ha come soluzioni
[math]x_1=-1[/math]
[math]x_2=-2[/math]
Nessuna di queste due soluzioni rispetta la condizione
[math]x in (2;+oo)[/math]
Perciò dobbiamo concludere dicendo che l'equazione iniziale non ammette soluzioni.
FINE
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