Si risolva la disequazione che segue
[math]1/\sqrt{\\sinx+2}+1/(\\sinx+\\cosec(\pi/6))>0[/math]
Calcoliamo il valore della cotangente
[math]cot(\pi/6)=1/(\\sin(\pi/6))=\frac{1}{1/2}=2[/math]
Perciò si ha
[math]1/\sqrt{\\sinx+2}+1/{\\sinx+2}>0[/math]
Poniamo
[math]\sqrt{\\sinx+2}=t[/math]
e otteniamo
[math]1/t+1/t^2>0[/math]
ovvero
[math]\frac{t+1}{t^2}>0[/math]
Possiamo limitarci a risolvere
[math]t+1>0[/math]
poichè
[math]t^2>0[/math]
Inoltre non c'è nemmeno bisogno di considerare il caso in cui il denominatore si annulla: infatti
[math]\sqrt{\\sinx+2}>0[/math]
perchè il valore minimo del seno [math]-1[/math]
e quindi si avrebbe al peggio [math]\sqrt{-1+2}=\sqrt(1)[/math]
che è maggiore di zero. Andando avanti, si giunge a
[math]t> -1[/math]
ovvero
[math]\sqrt{\\sinx+2}> -1[/math]
In base alle considerazioni precedenti, possiamo dire che la disequazione è sempre verificata, perchè il radicale ha sempre radicando positivo (è sempre definito quindi) e inoltre è sempre positivo, per cui maggiore di un negativo (
[math]-1[/math]
nel nostro caso). Perciò possiamo scrivere che la disequazione è vera
[math]forallx in RR[/math]
Fine
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