In questo appunto risolveremo un problema di geometria delle scuole medie relativo all'area dei poligoni e lunghezze dei segmenti.
Il problema in questione lega un quadrato ad un trapezio isoscele tramite l'informazione di equivalenza, cioè si ha che l'area del quadrato è uguale all'area del trapezio isoscele per un certo fattore che sarà indicato nel testo.
Ma, in generale, due figure si dicono equivalenti se hanno la stessa area. Vediamo il problema nel dettaglio.
Testo dell'esercizio
Un quadrato ha il perimetro di[math] 48 cm [/math]
ed è equivalente ai [math]\frac{12}{35}[/math]
di un trapezio isoscele avente la base maggiore e la base minore rispettivamente uguali al triplo e alla metà del perimetro del quadrato.Calcolare
- la misura della diagonale del quadrato;
- la lunghezza del perimetro del trapezio;
- l'area di un parallelogramma avente uno dei lati consecutivi uguale al lato del quadrato, l'altro ai [math]\frac{2}{3}[/math]dello stesso lato del quadrato e sapendo che i due lati consecutivi formano un angolo di 30°.
Soluzione dell'esercizio
Procediamo con il primo punto, osserviamo che il perimetro è[math] 48 cm [/math]
e che il lato è uguale quindi a [math] l_q = \frac{2p}{4} = 12 cm [/math]
. La diagonale del quadrato è allora[math] d = l_q \sqrt{2} = 12 \sqrt{2} cm [/math]
[math]A_q = l^2 = 144 cm^2[/math]
.
Risolviamo ora il secondo punto. Si ha che:
[math] B = 3 \cdot 48 cm = 144 cm, b = \frac{48}{2} = 24 cm [/math]
[math] B, b [/math]
sono le basi maggiore e minore. Calcoliamo l'area trapezio sfruttando l'informazione sull'equivalenza:
[math]A_t = \frac{35}{12} \cdot Aq = \frac{35}{12} \cdot 144 cm^2 = 420 cm^2[/math]
[math]\frac{35}{12}[/math]
è il reciproco della frazione data.Per il segmento che congiunge il vertice della base maggiore con la proiezione del vertice della base minore sulla base maggiore, abbiamo:
[math]d = \frac{B-b}{2} = \frac{120}{2} cm = 60 cm[/math]
[math] h = \frac{2A_t}{B+b} = \frac{840}{168} cm = 5 cm [/math]
[math] l_t = \sqrt{h^2+d^2} = \sqrt{25+3600} \approx 61.84 cm[/math]
[math]b_1 + b_2 + 2l_t \approx 291.69 cm[/math]
.
Risolviamo ora il terzo punto, si ha intanto che:
[math]l_1 = 12 cm, l_2 = \frac{2}{3} 12 cm = 8 cm [/math]
[math]k[/math]
del parallelogramma osserviamo che il triangolo a sinistra è metà di un triangolo equilatero, dunque [math]k = 1/2 l_2 = 4 cm[/math]
.L'area del parallelogramma sarà data da base per altezza, dunque da:
[math] A_p = 12 \cdot 4 cm^2 = 48 cm^2 [/math]
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