Angoli e come svolgere le operazioni angolari

In quest'appunto troverai un insieme di definizioni generali riguardanti gli angoli, con un approfondimento sulle operazioni angolari (in particolare moltiplicazione e divisione).

Cosa sono gli angoli e come possono essere classificati

Il concetto di angolo è fondamentale in geometria.

Esso non è altro che la parte di piano racchiusa tra due semirette aventi l'origine in comune. Essi possono essere classificati sfruttando:

• le caratteristiche dei prolungamenti delle semirette. Un angolo che contiene i prolungamenti delle semirette prende il nome di concavo. In caso contrario, si definisce convesso
• le caratteristiche di un altro angolo. Una coppia di angoli si definisce complementare se la somma delle loro ampiezze ammonta a un angolo retto, supplementare se corrisponde a un angolo piatto ed esplementare se corrisponde a un angolo giro
• la propria ampiezza. Gli angoli sono infatti principalmente classificati utilizzando la loro estensione. Un angolo ampio
  [math]90°[/math]
  prende il nome di angolo retto, un angolo piatto misura
  [math]180°[/math]
  e così via. In generale, tutti gli angoli di ampiezza inferiore a un angolo retto si definiscono acuti mentre tutti quelli che superano tale ampiezza si definiscono ottusi

L'estensione dell'area di piano racchiusa rappresenta l'ampiezza dell'angolo e può essere quantificata utilizzando diverse unità di misura.

In generale, un angolo può essere misurato in:

• gradi. Un grado è rappresentato dalla trecentosessantesima parte di un angolo giro ed è l'unità di misura più utilizzata
. Il grado è l'unità di misura leggibile sulla scala graduata di un goniometro. Il goniometro è lo strumento utilizzato per quantificare l'ampiezza di un angolo. Esso si utilizza ponendo il centro del goniometro in corrispondenza del vertice dell'angolo e facendo combaciare una delle due semirette con il diametro del goniometro. La misura dell'angolo è visibile seguendo l'altra semiretta e valutando il corrispettivo valore sulla scala graduata dello strumento.

• radianti. Un radiante è rappresentato dall'estensione di un angolo al centro che insiste su un arco di lunghezza congruente all'arco della circonferenza considerata. E' possibile convertire una misura in gradi in una misura in radianti considerando al seguente proporzione:
  [math]\alpha:\beta=360°:2\pi[/math]
  , in cui
  [math]\alpha[/math]
  è l'angolo in gradi e
  [math]\beta[/math]
  è l'angolo in radianti. L'utilizzo dei radianti è
  molto più frequente in trigonometria, poiché quest'unità di misura consente di riscrivere gli argomenti delle funzioni in modo più chiaro e compatto rispetto ai gradi.

Quando si svolgono le operazioni angolari, bisogna tenere conto anche dei sottomultipli dell'unità di misura. Nel caso del grado, essi sono i primi e i secondi.
Un primo è pari alla sessantesima parte di un grado mentre un secondo è pari alla sessantesima parte di un primo. Proprio come accade per le misure di lunghezza, quando si dispongono i valori in colonna bisogna elencare i gradi sotto ai gradi, i primi sotto ai primi e i secondi sotto ai secondi.
Alla fine di ciascuna operazione, è sempre bene scrivere il risultato in forma normale. Quest'ultimo step consiste nello scrivere il risultato in modo tale che il valore dei secondi e dei primi non superi il numero sessanta.

Le operazioni angolari: la moltiplicazione di una misura angolare per un numero intero

Conoscere la strategia più adatta per risolvere le operazioni angolari è fondamentale per affrontare correttamente i problemi di geometria.
Per moltiplicare una misura angolare per un numero intero basta moltiplicare il numero intero per ciascuna unità dei vari ordini della misura stessa. Il risultato ottenuto deve essere poi ridotto in forma normale.
Ecco un esempio:

Possiamo riscrivere il numero

come

, riducendolo in forma normale.

Le operazioni angolari: come scrivere correttamente i termini della divisione di una misura angolare per un numero intero

Per dividere una misura angolare per un numero intero occorre eseguire attentamente le operazioni illustrate nel seguente esempio:

.

Per prima cosa, è necessario dividere

per

.

Il primo resto ottenuto è

. Riduciamo quest'ultimo in primi:

.

Al primo resto scritto in primi aggiungiamo i

presenti nella misura iniziale.

e dividiamo il risultato ottenuto

per

:

.
Il secondo resto ammonta a

. Riduciamolo dai primi ai secondi:

.

Aggiungiamo ai 30'' della misura iniziale il secondo resto trasformato in secondi:

.

Dividiamo il risultato ottenuto ancora per

:
150'' : 5 = 30''.
Poichè in questo caso il resto è

, il risultato finale è

L'operazione si può eseguire in un unico tempo in questo modo:

Breve ricapitolazione sull'addizione e la sottrazione con le misure angolari

Nei paragrafi precedenti si è trattato della divisione e della moltiplicazione con le misure angolari. Addizioni e sottrazioni possono essere svolte in maniera più semplice.
Anche nel caso delle misure angolari i due numeri coinvolti nell'operazione vanno scritti in colonna in maniera ordinata: i primi sotto ai primi, i secondi sotto ai secondi e così via.

Nel caso delle addizioni e delle sottrazioni, bisogna procedere partendo dall'ultima cifra a destra. L'unica differenza sostanziale riguarda le sottrazioni con "prestito". Il prestito viene eseguito dalla cifra a sinistra rispetto a quella considerata quando, nel corso della sottrazione, il secondo termine risulta maggiore del primo. Se tale impaccio riguarda i secondi, un primo verrà aggiunto ai secondi (

) per rendere l'operazione eseguibile.

Per ulteriori approfondimenti sulle operazioni angolari vedi anche qui