Circonferenza - spiegazione equazioni analitiche

In questo appunto vengono spiegate alcune equazioni analitiche della circonferenza: spiegazione dell’equazione, spiegazione di come trovare il centro della circonferenza, il raggio della circonferenza, l’equazione della circonferenza con centro diverso dall’origine, l’equazione della retta tangente alla circonferenza.
Per comprendere meglio la spiegazione e la forma di tali equazioni è necessario richiamare alcuni concetti base su retta, distanza punto-punto e punto-retta.

Equazione di una retta

Una retta è un insieme infinito di punti allineati, la retta quindi non ha un inizio e una fine ma è infinitamente estesa nelle due direzioni.
Il luogo geometrico dei punti appartenenti alla retta può essere descritto attraverso la seguente relazione:


Dove:
m=pendenza (relazionata all’inclinazione della retta)
q=intercetta (intersezione della retta con l’asse delle ordinate)
Perciò tutti i punti (x,y) le cui coordinate soddisfano l’equazione della retta appartengono alla retta.
Dato invece un generico valore di x è possibile trovare il valore della coordinata y tale per cui il punto appartiene alla retta semplicemente sostituendo il valore della x nell’equazione che rappresenta la retta e trovando il corrispondente valore dell’ordinata (nel caso contrario in cui si conosce la y e si vuole trovare la x è sufficiente eseguire il procedimento inverso, quindi si sostituisce il valore della y nell’equazione e si trova il corrispondente valore della x).

L’equazione di una retta può essere trovata conoscendo due punti per cui la retta passa, utilizzando la seguente espressione:



Se invece si conosce la pendenza della retta e un punto per cui passa è utile utilizzare questa seconda equazione:



La pendenza è definita come la variazione delle ordinate al variare delle ascisse, perciò può essere trovata attraverso la seguente formula note le coordinate di due punti e :


Per ulteriori approfondimenti sulle equazioni che rappresentano le rette vedi anche qua

Distanza punto-punto:

Dati due punti e nel piano cartesiano è possibile trovare la distanza tra i due punti (lunghezza del segmento che congiunge i due punti) attraverso al seguente equazione:


Tale formula deriva dall’applicazione del teorema di Pitagora alla differenza delle coordinate dei due punti.

Distanza punto-retta:

Consideriamo una generica retta e consideriamo il punto , vogliamo calcolare la distanza punto-retta.
La distanza punto-retta è la lunghezza del segmento che parte dal punto A e che arriva perpendicolarmente alla retta considerata.
Troviamo quindi la retta che passa per il punto A e che è perpendicolare alla retta 1; tale retta avrà una pendenza che sarà meno l’opposto della pendenza della retta 1 perciò:


Costruiamo ora l’equazione della retta utilizzando l’equazione di una retta nota la pendenza e noto un punto per cui passa (nel nostro caso il punto A):


Trovata tale equazione che descrive la retta su cui giace la distanza punto-retta è possibile trovare il punto di intersezione tra la retta 2 e la retta 1 mettendo le equazioni delle due rette a sistema:


in tal modo si trova il punto H ovvero il punto della retta che è più vicino al punto A.
Trovato il punto H, la distanza punto-retta corrisponde alla distanza AH che è possibile calcolare utilizzando la relazione per la distanza tra due punti:



Se si segue il procedimento descritto si arriva alla seguente formula finale:


Dove a,b,c sono i coefficienti caratteristici della retta scritta in forma implicita.
Per ulteriori approfondimenti sulla risoluzione dei sistemi di equazioni vedi anche qua.

Equazione della circonferenza:

Una circonferenza è il luogo geometrico dei punti che hanno la caratteristica di avere la stessa distanza da un punto caratteristico chiamato centro; la distanza invece prende il nome di raggio.

Abbiamo visto che la distanza tra due punti può essere ricavata con la seguente formula:


Se eseguiamo il quadrato di entrambi i membri e se consideriamo inizialmente che uno dei punti (il centro) sia nell’origine si ha che si ottiene che affinché un punto appartenga alla circonferenza le sue coordinate devono rispettare la seguente equazione:


Questa è proprio l’equazione di una circonferenza con centro sull’origine degli assi.

Nel caso più generale in cui il centro ha coordinate

[math]C(x_C,y_C)[/math]

nell’equazione della circonferenza con centro C compaiono le coordinate del centro:


Perciò se si conoscono le coordinate del centro e il raggio è possibile utilizzare la formula precedente per trovare l’equazione della circonferenza.

Se dalla formula precedente si svolgono i quadrati se si eseguono le somme opportune si ottiene l’equazione generale della circonferenza riportata in seguito:





Nota tale equazione è possibile ricavare le coordinate del centro attraverso la seguente uguaglianza:



In modo analogo è possibile trovare il raggio utilizzando la seguente espressione:



Per trovare l’equazione della retta tangente alla circonferenza in un punto P è necessario trovare dall’equazione della circonferenza le coordinate del centro e il valore del raggio r.
Ora scriviamo l’equazione che descrive la retta passante per i punti C e P:



La retta tangente alla circonferenza sarà la retta perpendicolare a quella appena trovata () e passante per il punto P perciò utilizzando la seguente formula è possibile trovare l’equazione della retta tangente passante per un punto della cironferenza.