Le equazioni di Maxwell e la nascita dell'elettromagnetismo

7. La sintesi di Maxwell

1.1 La seconda importante sintesi della fisica

L’unificazione di fenomeni diversi nel quadro di una stessa teoria è un motivo che

ricorre spesso nella storia della fisica. Le sintesi in forma matematica hanno

consentito di descrivere in modo semplice e corretto ambiti diversi di fenomeni

naturali e di prevedere l’esistenza di fenomeni nuovi.

Dopo l’unificazione della meccanica terrestre e di quella celeste ad opera di Newton,

ha realizzato nell’Ottocento la seconda importante

James Clerk Maxwell (1831-1879)

sintesi della fisica: egli ha condensato in sole quattro equazioni i fenomeni elettrici,

magnetici e ottici. L’attrazione e la repulsione tra le cariche elettriche e tra i magneti,

la luce, le onde radio e i raggi X appaiono come manifestazioni di un’unica forza

elettromagnetica. Le quattro equazioni di Maxwell descrivono in forma matematica le

proprietà che caratterizzano questa forza.

James Clerk Maxwell (1831-1879) Michael Faraday (1791-1867)

1.2 La trasformazione delle idee di Faraday

Il programma di ricerca sul concetto di “campo” sembrava nascere, nella memoria del

1855 sulle linee di forza di Faraday, da uno spunto arido, là dove Maxwell scriveva

che “le scienze matematiche sono basate su relazioni tra leggi fisiche e leggi dei

numeri” e che, di conseguenza, “ lo scopo di una scienza esatta è quello di ridurre i

6

problemi della natura alla determinazione di quantità mediante operazioni con i

numeri”. Uno spunto arido, ben s’intende, dal punto di vista di coloro i quali

ritengono che i problemi della natura non siano suscettibili di riduzioni

matematizzanti senza diventare questioni puramente tecniche. Nella mente di

Maxwell quella riduzione matematizzante potè crescere negli anni sino ad assumere

l’aspetto concettuale di una formazione complessiva della visione dell’universo.

teoria di “campo”

Quando a volte si legge che gli studi compiuti da Maxwell sulla

permisero di matematizzare le idee di Faraday, è opportuno riflettere sul fatto che

quella matematizzazione non fu una semplice traduzione in simboli di ciò che lo

stesso Faraday aveva già raccolto sotto forma di leggi empiriche. Maxwell trasformò

le conoscenze acquisite da altri scienziati in una concezione rivoluzionaria della

materia, dimostrando che il pensiero, quando si alza ai livelli superiori dell’astrazione

formale, sa cogliere le strutture profonde del reale in forme innovatrici e affascinanti.

1.3 Le conoscenze sui fenomeni elettrici e magnetici prima di Maxwell

Intorno alla metà dell’Ottocento le conoscenze sui fenomeni elettrici e magnetici

sono racchiuse in tre leggi fondamentali: la legge di Coulomb, la legge di Ampere e

la legge di Faraday- Neumann. 

esprime l’intensità della forza

La legge di Coulomb di attrazione o di repulsione fra

F

le cariche puntiformi Q e Q poste a distanza r:

1 2 Q Q

1 2

F = K

e 2

r

 

9 2 2

dove K è una costante pari a 8,99 10 N m /C . Da un altro punto di vista, una

e  1

carica Q1 genera nello spazio che la circonda un campo elettrico , la cui intensità

E

diminuisce con l’inverso del quadrato della distanza r:

Q

1

E = K

e 2

r

1 Si definisce vettore intensità del campo elettrico E in un punto dello spazio il rapporto tra la forza elettrostatica a cui è

F

soggetta la carica esploratrice in quel punto e la carica stessa: E = q 7

Ogni carica Q2, immersa in questo campo elettrico, subisce una forza.



descrive l’intensità della forza

La legge di Ampère , su un tratto di lunghezza l, con

F

la quale si attraggono o si respingono due fili paralleli percorsi dalle correnti i e i

1 2

posti a distanza r: i i

F 1 2

= K

m

l r

 -7 2 2

dove K è una costante pari a 2 10 N/A . Questa forza nasce dal campo magnetico

m lo circonda. L’intensità del campo magnetico

che ciascun filo genera nello spazio che

 di un filo rettilineo, percorso da una corrente i , diminuisce in modo inversamente

B 1

proporzionale alla distanza r dal filo: i

1

B = K

m r

corrente, posto all’interno di questo campo magnetico,

Un filo, nel quale circola una

subisce una forza.

Infine, il fenomeno dell’induzione elettromagnetica, scoperto da Faraday, stabilisce

una relazione tra campi elettrici e campi magnetici. 

 3

La legge di Faraday-Neumann afferma che, quando varia il flusso ( ) di un

B

campo magnetico, attraverso la superficie delimitata da un circuito, si crea in



quest’ultimo un campo elettrico. Esso dà luogo a una forza elettromotrice indotta

direttamente proporzionale alla rapidità con la quale varia il flusso:



 ( B )

 = - 

t 

è l’intervallo di tempo in cui avviene la variazione di flusso 



dove .

(B )

t

La forza elettromotrice è definita come il lavoro, per unità di carica, che una forza di

origine esterna compie per fare in modo che una carica percorra un giro completo del

2 Analogamente al campo elettico, il campo magnetico può essere rappresentato attraverso le sue linee di forza, nel

campo magnetico polo nord e polo sud sono sempre presenti sullo stesso corpo, le linee di forza che escono da un polo

finiscono sempre nell’altro. Dalla forza di Lorentz è possibile risalire all’unità di misura del vettore B.

3 Con il concetto fisico di flusso si intende esprimere la quantità di sostanza o di energia che attraversa una determinata



superficie nell’unità di tempo. Il flusso (B ) del vettore B attraverso la superficie S è dato dal prodotto scalare tra B e

 (E )

il vettore superficie S , il flusso del vettore campo elettrico sarà dato dal prodotto scalare tra vettore E e

s

superficie S. 8

circuito. In presenza di un generatore (pila o batteria), la forza esterna è di solito di

elettrica e agisce solo all’interno del generatore.

natura

Invece, nel fenomeno dell’induzione elettromagnetica, la forza esterna è generata

dalla variazione del flusso del campo magnetico: essa produce un campo elettrico

lungo tutto il circuito, che mette in movimento le cariche elettriche.

Questo è quindi il quadro iniziale, costituito da fenomeni diversi regolati da leggi che

in apparenza nulla hanno a che fare l’una con l’altra.

Maxwell reinterpreta e unifica i fenomeni elettrici e magnetici mediante un nuovo

campo: il campo elettromagnetico. Questo nuovo concetto gli consente di prevedere

l’esistenza delle onde elettromagnetiche, inglobando nella sintesi teorica non solo

l’elettricità e il magnetismo ma anche l’ottica.

8. Le equazioni di Maxwell

2.1 Il teorema di Gauss per il campo elettrico e la circuitazione

Per introdurre le quattro principali equazioni è necessario un riferimento al teorema

di Gauss per i campo elettrico e al concetto di “circuitazione”.

Teorema di Gauss:

Determiniamo il flusso del campo elettrico, generato da una carica puntiforme Q,

attraverso una superficie sferica di raggio r, avente il centro coincidente con la carica.

Il risultato che ha valore generale per qualunque distribuzione di carica e qualunque

superficie, lo si ottiene con un calcolo abbastanza semplice. Una sfera

circonda una

carica elettrica

+Q

Per calcolare il

flusso del campo



E attraverso la

superficie,

suddividiamo

quest’ultima in

tante superfici 9

Il campo elettrico della carica puntiforme posta al centro della sfera ha la stessa

intensità E in tutti i punti di S (superficie), la direzione del campo varia da punto a



punto. Suddividiamo la superficie in parti di area uguale e abbastanza piccole da

S

poterle considerare piane.

 

Il flusso attraverso ogni piccola superficie risulta uguale a

S

s  

S

 

E

= = E S

s



Il flusso di attraverso tutta la superficie sferica è la somma dei flussi parziali

E 

attraverso ciascuna piccola superficie :

S

 



  

   

 S S S 

+…=

E E

E

( E ) = + + E S

1 2 2 3 3

s

Il flusso è uguale al prodotto dell’intensità E del campo per la somma delle aree delle

piccole superfici, che è uguale all’area della superficie S della sfera:



 ( E ) = ES

s

Q  2

dato che E = K e S = 4 r otteniamo:

e 2

r  

 ( E ) = 4 K Q

e

s

Il flusso attraverso la sfera è proporzionale alla carica Q che essa contiene e non

dipende dal raggio della sfera. Infatti, se svolgiamo lo stesso calcolo considerando

una sfera di raggio 2r, il risultato non cambia perché si compensano la diminuzione

dell’intensità del campo elettrico, inversamente proporzionale al quadrato del raggio

con l’aumento dell’area della superficie

r, della sfera, direttamente proporzionale al

quadrato di r. Si nota che il flusso dipende solo dalla carica contenuta nella

superficie, ha segno positivo per una carica positiva e negativo per una carica

4

negativa.

Con il teorema di Gauss, che vale non solo per i campi elettrostatici ma anche per i

campi elettrici che variano con il tempo, abbiamo enunciato la prima delle equazioni

di Maxwell.  

S

coseno dell’angolo fra i due vettori E

4 Il segno del flusso dipende dal e : per una carica positiva essi hanno lo

stesso verso mentre per una carica negativa essi hanno versi opposti. 10

In generale è possibile enunciare il teorema di Gauss valido per il magnetismo: il

flusso di un campo magnetico attraverso qualsiasi superficie chiusa è uguale a zero.

Ecco una prima diversità tra il campo elettrico e il campo magnetico. Mentre il flusso





di è proporzionale alla quantità di carica racchiusa nella superficie, il flusso di è

B

E

sempre uguale a zero. Ciò riflette una profonda diversità tra le sorgenti di campo

elettrico e di quello magnetico. Mentre vi sono cariche elettriche positive e cariche

elettriche negative, non esiste un analogo magnetico. Non vi sono infatti poli

magnetici liberi.

Il teorema di Gauss per il magnetismo vale sia per i campi statici che per quelli

variabili nel tempo e rappresenta la seconda equazione di Maxwell.

La circuitazione 

Le proprietà del campo elettrico non sono espresse dal teorema di Gauss; occorre

E

infatti determinare la circuitazione.

La circuitazione esprime una proprietà importante delle linee di un campo vettoriale.

Consideriamo una linea chiusa immersa in un campo descritto da un vettore, per

esempio il campo elettrico.

In questo caso la circuitazione del vettore lungo la linea chiusa viene determinata con

il prodotto dell’intensità del vettore per la lunghezza della linea stessa.





Calcoliamo la circuitazione ) del campo elettrico di una carica puntiforme Q

E

(

lungo una circonferenza che ha il centro coincidente con la carica. 11

La circonferenza

è concentrica

alla carica +Q

Per calcolare la

circuitazione del

campo elettrico

della carica

lungo la

circonferenza,

essa viene

suddivisa in tanti



spostamenti l

La circuitazione risulta una somma di prodotti scalari

 

  

  

 

l l +… =

E E

E

( ) = + E l

1 1 2 2 

calcolata lungo una serie di intervalli di lunghezza nei quali pensiamo di

l

suddividere la circonferenza. Ciascuno di questi tratti è un segmento parallelo alla

tangente alla circonferenza e quindi è sempre perpendicolare al campo elettrico, la cui

direzione coincide con quella del raggio della circonferenza, il prodotto scalare di

vettori perpendicolari è nullo, la circuirazione sarà quindi uguale alla somma di





addendi nulli e quindi ) = 0 . Questo risultato vale per tutte le circonferenze con

E

(

il centro sulla carica, qualunque sia il loro raggio.

È possibile concludere che la cicuitazione di un campo elettrostatico lungo un

qualsiasi percorso chiuso è sempre nulla.

Tale conclusione introduce la terza equazione di Maxwell nel caso statico,

l’equazione non vale più nel caso dinamico, cioè quando il campo elettrico varia nel

tempo. 

Dalla legge di Faraday-Neumann sappiamo che la forza elettromotrice indotta è





proporzionale alla rapidità con cui varia il flusso del campo magnetico B

s

attraverso una ipotetica spira. Sugli elettroni che costituiscono la corrente indotta

agisce una forza esterna provocata dalla variazione di flusso del campo magnetico. Il

lavoro per unità di carica di questa forza esterna è per definizione la forza

12



l

elettromotrice indotta. Approssimiamo la spira con una serie di segmenti tangenti

 

F l