Le equazioni di Maxwell e la nascita dell'elettromagnetismo

Le equazioni di Maxwell

La scelta dell’elettromagnetismo

Giuliano Zamboni, Liceo Scientifico “Albert Einstein”, Piove di Sacco, Padova.

Anno scolastico 2007-2008.

Indice

Introduzione

Mappa concettuale degli argomenti trattati

Prima parte: Fisica - sintesi di Maxwell

1. La sintesi di Maxwell…………………………………… pag. 2

1.1 La seconda importante sintesi della fisica

1.2 La trasformazione delle idee di Faraday

1.3 Le conoscenze sui fenomeni elettrici e magnetici prima di Maxwell

2. Le equazioni di Maxwell…………………………………….. pag. 5

2.1 Il teorema di Gauss per il campo elettrico e la circuitazione

2.2 Le quattro equazioni fondamentali ed il “termine mancante”

3. La verifica della teoria di Maxwell

Esperimento di Hertz e principali caratteristiche delle pag. 15

onde elettromagnetiche………………………………………………….

Seconda parte: Scienze - Lo spettro elettromagnetico

4. Lo spettro elettromagnetico……………………………………. pag. 20

4.1 La luce e le altre onde elettromagnetiche

4.2 Analisi spettrale

4.3 La spettroscopia astronomica

Terza parte: Inglese - The life of James Clerk Maxwell

5. James Clerk Maxwell and the Electrodynamic Theory of Light pag. 29

5.1 About James Maxwell’s life

Quarta parte: Filosofia - Il contesto culturale del XIX secolo: il positivismo

6. Il contesto filosofico…………………………………………….. pag. 34

6.1 La definizione del positivismo

6.2 Comte e la sociologia come coordinamento unitario del conoscere

6.3 La logica del positivismo: Stuart Mill

Conclusione……………………………………………………………… pag. 39

Bibliografia……………………………………………………………… pag. 40 2

Introduzione

« Tra molto tempo- per esempio tra diecimila anni- non c'è dubbio che la scoperta delle equazioni di Maxwell sarà giudicato l'evento più significativo del XIX secolo. La guerra civile americana apparirà insignificante e provinciale se paragonata a questo importante evento scientifico della medesima decade. »

(Richard Feynman)

James Clerck Maxwell è senza dubbio una delle personalità più importanti operante nel XIX secolo.

I risultati che ottenne nelle ricerche sull’elettromagnetismo portarono mutamenti così netti nella concezione dell’universo e gettarono basi così ampie nella fisica da poterlo ricordare tra coloro che riuscirono a far luce sui nodi eccezionali del pensiero: scienziati come Copernico, Galileo, Newton ed Einstein. Maxwell risulta inoltre perfettamente inserito in un contesto storico contraddistinto dalla varietà degli interessi scientifici, dalla sensibilità per le questioni epistemologiche e dalla fiducia nella sostanziale unità del sapere.

La sintesi dei fenomeni elettrici, magnetici e ottici suscita in me un grande interesse sulla base della straordinaria importanza che essa ricopre per la storia della fisica.

Mi propongo quindi di presentare in maniera schematica ed esauriente il lavoro di unificazione compiuto da Maxwell per accentuare l’importanza già nota delle sue scoperte e del contesto culturale in cui lo stesso scienziato si trova ad operare.

L’attenzione verrà all’inizio rivolta alle quattro equazioni fondamentali e alla fisica dell’elettromagnetismo, seguirà una analisi più approfondita degli spettri di luce, infine verranno prese in considerazione le peculiarità della cultura del positivismo e il pensiero di alcune personalità emblematiche di tale movimento. Giuliano Zamboni

3

“ ”

Giuliano Zambonin Liceo Scientifico A. Einstein Piove di Sacco, Padova classe 5^ Ds Esame di Stato 2007-2008

Mappa concettuale delle materie coinvolte e degli argomenti trattati per il colloquio orale

Tema trattato:

Le equazioni di Maxwell e

la nascita

dell’elettromagnetismo

Fisica

Inglese:

• Importanza della sintesi di Maxwell The life of James Clerk Maxwell
• Unificazione fenomeni elettrici, magnetici e ottici
• Analisi e spiegazione delle quattro equazioni e del “termine mancante”
• Onde elettromagnetiche (in sintesi)

Scienze

Filosofia:

• La luce e gli spettri, lo spettro del visibile, importanza degli spettri per la classificazione stellare
• Il contesto culturale del positivismo, caratteristiche del positivismo sociale
• Approfondimento su Auguste Comte e John Stuart Mill

4

Prima parte

Fisica

La sintesi di Maxwell

5

7. La sintesi di Maxwell

1.1 La seconda importante sintesi della fisica

L’unificazione di fenomeni diversi nel quadro di una stessa teoria è un motivo che ricorre spesso nella storia della fisica. Le sintesi in forma matematica hanno consentito di descrivere in modo semplice e corretto ambiti diversi di fenomeni naturali e di prevedere l’esistenza di fenomeni nuovi.

Dopo l’unificazione della meccanica terrestre e di quella celeste ad opera di Newton, ha realizzato nell’Ottocento la seconda importante

James Clerk Maxwell (1831-1879)

sintesi della fisica: egli ha condensato in sole quattro equazioni i fenomeni elettrici, magnetici e ottici. L’attrazione e la repulsione tra le cariche elettriche e tra i magneti, la luce, le onde radio e i raggi X appaiono come manifestazioni di un’unica forza elettromagnetica. Le quattro equazioni di Maxwell descrivono in forma matematica le proprietà che caratterizzano questa forza.

James Clerk Maxwell (1831-1879) Michael Faraday (1791-1867)

1.2 La trasformazione delle idee di Faraday

Il programma di ricerca sul concetto di “campo” sembrava nascere, nella memoria del 1855 sulle linee di forza di Faraday, da uno spunto arido, là dove Maxwell scriveva che “le scienze matematiche sono basate su relazioni tra leggi fisiche e leggi dei numeri” e che, di conseguenza, “lo scopo di una scienza esatta è quello di ridurre i

6

problemi della natura alla determinazione di quantità mediante operazioni con i numeri”. Uno spunto arido, ben s’intende, dal punto di vista di coloro i quali ritengono che i problemi della natura non siano suscettibili di riduzioni matematizzanti senza diventare questioni puramente tecniche. Nella mente di Maxwell quella riduzione matematizzante potè crescere negli anni sino ad assumere l’aspetto concettuale di una formazione complessiva della visione dell’universo.

teoria di “campo”

Quando a volte si legge che gli studi compiuti da Maxwell sulla

permisero di matematizzare le idee di Faraday, è opportuno riflettere sul fatto che quella matematizzazione non fu una semplice traduzione in simboli di ciò che lo stesso Faraday aveva già raccolto sotto forma di leggi empiriche. Maxwell trasformò le conoscenze acquisite da altri scienziati in una concezione rivoluzionaria della materia, dimostrando che il pensiero, quando si alza ai livelli superiori dell’astrazione formale, sa cogliere le strutture profonde del reale in forme innovatrici e affascinanti.

1.3 Le conoscenze sui fenomeni elettrici e magnetici prima di Maxwell

Intorno alla metà dell’Ottocento le conoscenze sui fenomeni elettrici e magnetici sono racchiuse in tre leggi fondamentali: la legge di Coulomb, la legge di Ampere e la legge di Faraday-Neumann. 

esprime l’intensità della forza

La legge di Coulomb di attrazione o di repulsione fra

F

le cariche puntiformi Q e Q poste a distanza r:

1 2 Q Q

1 2

F = K

e 2

r

 

9 2 2

dove K è una costante pari a 8,99 10 N m /C . Da un altro punto di vista, una

e  1

carica Q1 genera nello spazio che la circonda un campo elettrico , la cui intensità

E

diminuisce con l’inverso del quadrato della distanza r:

Q

1

E = K

e 2

r

1 Si definisce vettore intensità del campo elettrico E in un punto dello spazio il rapporto tra la forza elettrostatica a cui è

F

soggetta la carica esploratrice in quel punto e la carica stessa: E = q 7

Ogni carica Q2, immersa in questo campo elettrico, subisce una forza.



descrive l’intensità della forza

La legge di Ampère, su un tratto di lunghezza l, con

F

la quale si attraggono o si respingono due fili paralleli percorsi dalle correnti i e i

1 2

posti a distanza r: i i

F 1 2

= K

m

l r

 -7 2 2

dove K è una costante pari a 2 10 N/A . Questa forza nasce dal campo magnetico

m lo circonda. L’intensità del campo magnetico

che ciascun filo genera nello spazio che

 di un filo rettilineo, percorso da una corrente i, diminuisce in modo inversamente

B 1

proporzionale alla distanza r dal filo: i

1

B = K

m r

corrente, posto all’interno di questo campo magnetico,

Un filo, nel quale circola una

subisce una forza.

Infine, il fenomeno dell’induzione elettromagnetica, scoperto da Faraday, stabilisce una relazione tra campi elettrici e campi magnetici. 

 3

La legge di Faraday-Neumann afferma che, quando varia il flusso ( ) di un

B

campo magnetico, attraverso la superficie delimitata da un circuito, si crea in



quest’ultimo un campo elettrico. Esso dà luogo a una forza elettromotrice indotta direttamente proporzionale alla rapidità con la quale varia il flusso:



 ( B )

 = - 

t 

è l’intervallo di tempo in cui avviene la variazione di flusso 



dove .

(B )

t

La forza elettromotrice è definita come il lavoro, per unità di carica, che una forza di origine esterna compie per fare in modo che una carica percorra un giro completo del

2 Analogamente al campo elettico, il campo magnetico può essere rappresentato attraverso le sue linee di forza, nel campo magnetico polo nord e polo sud sono sempre presenti sullo stesso corpo, le linee di forza che escono da un polo finiscono sempre nell’altro. Dalla forza di Lorentz è possibile risalire all’unità di misura del vettore B.

3 Con il concetto fisico di flusso si intende esprimere la quantità di sostanza o di energia che attraversa una determinata



superficie nell’unità di tempo. Il flusso (B ) del vettore B attraverso la superficie S è dato dal prodotto scalare tra B e

 (E )

il vettore superficie S, il flusso del vettore campo elettrico sarà dato dal prodotto scalare tra vettore E e

s

superficie S. 8

circuito. In presenza di un generatore (pila o batteria), la forza esterna è di solito di natura

elettrica e agisce solo all’interno del generatore.

Invece, nel fenomeno dell’induzione elettromagnetica, la forza esterna è generata dalla variazione del flusso del campo magnetico: essa produce un campo elettrico lungo tutto il circuito, che mette in movimento le cariche elettriche.

Questo è quindi il quadro iniziale, costituito da fenomeni diversi regolati da leggi che in apparenza nulla hanno a che fare l’una con l’altra.

Maxwell reinterpreta e unifica i fenomeni elettrici e magnetici mediante un nuovo campo: il campo elettromagnetico. Questo nuovo concetto gli consente di prevedere l’esistenza delle onde elettromagnetiche, inglobando nella sintesi teorica non solo l’elettricità e il magnetismo ma anche l’ottica.

8. Le equazioni di Maxwell

2.1 Il teorema di Gauss per il campo elettrico e la circuitazione

Per introdurre le quattro principali equazioni è necessario un riferimento al teorema di Gauss per i campo elettrico e al concetto di “circuitazione”.

Teorema di Gauss:

Determiniamo il flusso del campo elettrico, generato da una carica puntiforme Q, attraverso una superficie sferica di raggio r, avente il centro coincidente con la carica.

Il risultato che ha valore generale per qualunque distribuzione di carica e qualunque superficie, lo si ottiene con un calcolo abbastanza semplice. Una sfera circonda una

carica elettrica

+Q

Per calcolare il

flusso del campo



E attraverso la

superficie,

suddividiamo

quest’ultima in

tante superfici 9

Il campo elettrico della carica puntiforme posta al centro della sfera ha la stessa intensità E in tutti i punti di S (superficie), la direzione del campo varia da punto a



punto. Suddividiamo la superficie in parti di area uguale e abbastanza piccole da

S

poterle considerare piane.

 

Il flusso attraverso ogni piccola superficie risulta uguale a

S

s  

S

 

E

= = E S

s



Il flusso di attraverso tutta la superficie sferica è la somma dei flussi parziali

E 

attraverso ciascuna piccola superficie:

S

 



  

   

 S S S 

+…=

E E

E

( E ) = + + E S

1 2 2 3 3

s

Il flusso è uguale al prodotto dell’intensità E del campo per la somma delle aree delle piccole superfici, che è uguale all’area della superficie S della sfera:



 ( E ) = ES

s

Q  2

dato che E = K e S = 4 r otteniamo:

e 2

r  

 ( E ) = 4 K Q

e

s

Il flusso attraverso la sfera è proporzionale alla carica Q che essa contiene e non dipende dal raggio della sfera. Infatti, se svolgiamo lo stesso calcolo considerando una sfera di raggio 2r, il risultato non cambia perché si compensano la diminuzione dell’intensità del campo elettrico, inversamente proporzionale al quadrato del raggio con l’aumento dell’area della superficie

r, della sfera, direttamente proporzionale al quadrato di r. Si nota che il flusso dipende solo dalla carica contenuta nella superficie, ha segno positivo per una carica positiva e negativo per una carica

4

negativa.

Con il teorema di Gauss, che vale non solo per i campi elettrostatici ma anche per i campi elettrici che variano con il tempo, abbiamo enunciato la prima delle equazioni di Maxwell.  

S

coseno dell’angolo fra i due vettori E

4 Il segno del flusso dipende dal e: per una carica positiva essi hanno lo

stesso verso mentre per una carica negativa essi hanno versi opposti. 10

In generale è possibile enunciare il teorema di Gauss valido per il magnetismo: il flusso di un campo magnetico attraverso qualsiasi superficie chiusa è uguale a zero.

Ecco una prima diversità tra il campo elettrico e il campo magnetico. Mentre il flusso





di è proporzionale alla quantità di carica racchiusa nella superficie, il flusso di è

B

E

sempre uguale a zero. Ciò riflette una profonda diversità tra le sorgenti di campo elettrico e di quello magnetico. Mentre vi sono cariche elettriche positive e cariche elettriche negative, non esiste un analogo magnetico. Non vi sono infatti poli magnetici liberi.

Il teorema di Gauss per il magnetismo vale sia per i campi statici che per quelli variabili nel tempo e rappresenta la seconda equazione di Maxwell.

La circuitazione

Le proprietà del campo elettrico non sono espresse dal teorema di Gauss; occorre

E

infatti determinare la circuitazione.

La circuitazione esprime una proprietà importante delle linee di un campo vettoriale.

Consideriamo una linea chiusa immersa in un campo descritto da un vettore, per esempio il campo elettrico.

In questo caso la circuitazione del vettore lungo la linea chiusa viene determinata con il prodotto dell’intensità del vettore per la lunghezza della linea stessa.





Calcoliamo la circuitazione ) del campo elettrico di una carica puntiforme Q

E

(

lungo una circonferenza che ha il centro coincidente con la carica. 11

La circonferenza

è concentrica

alla carica +Q

Per calcolare la

circuitazione del

campo elettrico

della carica

lungo la

circonferenza,

essa viene

suddivisa in tanti



spostamenti l

La circuitazione risulta una somma di prodotti scalari

 

  

  

 

l l +… =

E E

E

( ) = + E l