Come calcolare l'area del parallelogrammo

Quest'appunto spiega come calcolare, attraverso la formula diretta, l'area del parallelogrammo fornendo, al contempo, un esempio per facilitarne la comprensione.

Cos'è un parallelogrammo e cosa significa calcolare l'area

Il parallelogrammo è una figura piana che appartiene alla famiglia dei quadrilateri, ossia quella classe di poligoni che presentano quattro lati e quattro vertici. Esso si contraddistingue dagli altri per via di una peculiarità: gli angoli e i lati opposti sono uguali e questi ultimi risultano anche paralleli. Per questo motivo, sono considerati parallelogrammi particolari anche il rettangolo, il quadrato e il rombo. Essi, tuttavia, sono parallelogrammi "speciali" poiché presentano delle caratteristiche specifiche, ossia:

• I rettangoli hanno le due diagonali di uguale lunghezza e i lati consecutivi formano, incontrandosi, angoli di 90°(perciò i rettangoli dispongono di quattro angoli retti)
• I quadrati hanno le stesse caratteristiche dei rettangoli e i lati tutti congruenti
• I rombi hanno i lati e gli angoli opposti congruenti, le diagonali perpendicolari e la somma delle ampiezze degli angoli consecutivi è pari a
  [math]180°[/math]

Tornando ai parallelogrammi più generici possiamo dire che, come ogni figura piana, è possibile calcolare:

• Il perimetro, ossia la somma dei lati della figura. In questo caso, poiché i lati sono opposti hanno la stessa lunghezza, è possibile utilizzare la formula
  [math] P=2l+2L[/math]
  in cui
  [math]l[/math]
  è il lato minore e
  [math]L[/math]
  quello maggiore.
In particolare, i due lati che formano angoli di
[math]90°[/math]
con l'altezza prendono il nome di basi, mentre i restanti sono definiti lati obliqui. Da queste formule discendono anche delle formule inverse, da cui è possibile calcolare la lunghezza di uno dei due lati conoscendo la misura dell'altro. In particolare, le formule sono:
[math] l=(P-2L)/2 [/math]
e
[math]L=(P-2l)/2[/math]
.

• L'area, ossia l'estensione della parte di piano racchiusa all'interno del perimetro.

Scopriamo insieme come ricavare l'area del parallelogrammo, la formula diretta e le formule inverse utilizzando la geometria e il concetto di equivalenza.

Come calcolare l'area del parallelogrammo

Notiamo che per mezzo di uno spostamento portiamo il triangolino
[math]AHD[/math]
del parallelogrammo
[math]ABCD[/math]
dalla parte di
[math]BKC[/math]
, in modo che il lato
[math]AD[/math]
si sovrapponga al lato
[math]BC[/math]
, otteniamo il rettangolo
[math]HKCD.[/math]
Tenendo conto di quanto abbiamo detto a proposito del concetto di equivalenza, possiamo senz'altro affermare che il parallelogrammo
[math]ABCD[/math]
equivalente al rettangolo
[math]HKCD[/math]
, in quanto i due quadrilateri sono formati da figure aventi la stessa estensione.
Pertanto possiamo dire che il parallelogrammo equivale a un rettangolo avente la stessa base e la stessa altezza.

Di conseguenza concludiamo affermando che:
l'area del parallelogrammo si ricava moltiplicando la misura della base per quella dell'altezza.
La formula diretta è:

[math]A=bh [/math]
,dove
[math]A[/math]
è l'area,
[math]b[/math]
è la base e
[math]h[/math]
è l'altezza.
Sapendo che la divisione è l'operazione inversa della moltiplicazione, possiamo ricavare le formule relative alla base e all'altezza. Esse sono:

[math]b=A:h[/math]
e
[math]h=A:b[/math]
.

Di seguito sono riportati degli esempi finalizzati alla comprensione delle formule già elencate.

Esempio: calcolare l'area di un parallelogrammo

Calcola I'area di un parallelogrammo sapendo che la sua base misura 18 cm mentre l'altezza è ⅓ della base.

Svolgimento

Calcoliamo la misura dell'altezza:

[math]h=D\cdot\;H = (18:6\cdot\;1)cm =6 cm [/math]
.
Applichiamo la formula diretta per determinare l'area:

[math]A= b\cdot\;h= AB\cdot\;DH =(18\cdot\;6)cm² =108 cm²[/math]



Risposta

L'area del parallelogrammo è 108 cm²

Esempio: calcolare l'altezza di un parallelogrammo essendo noti la base e l'area

Un parallelogramma presenta un'area di
[math]3600 cm^2[/math]
e una base di
[math]120 cm[/math]
. Calcola la lunghezza dell'altezza.

Svolgimento

Per trovare la misura dell'altezza è necessario applicare la formula inversa
[math] h=A/B[/math]
, ossia
[math]h=3600/120=30 cm[/math]
.

Risposta

L'altezza del parallelogramma misura
[math]30 cm[/math]
.

Esempio: calcolare l'area di un parallelogrammo essendo noti il perimetro ,il lato obliquo e l'altezza

Consideriamo un parallelogrammo in cui il perimetro, il lato obliquo e l'altezza ammontano rispettivamente a:
[math]60 cm[/math]
,
[math]20 cm[/math]
e
[math]20 cm[/math]
. Calcola l'area della figura.


Svolgimento

Per ricavare l'area del parallelogrammo è necessario partire dal calcolo della base. Poiché è noto il perimetro, possiamo utilizzare la formula inversa
[math]b=(P-2L)/2[/math]
, quindi
[math]b=(60-2\cdot\;20)/2=10 cm[/math]
.
A questo punto, si può facilmente calcolare l'area mediante la formula diretta
[math]A=b\cdot\;H=10\cdot\;20=200 cm^2[/math]
.

Risposta

L'area del parallelogramma misura
[math]200 cm^2[/math]
.

Per un ulteriore approfondimento sui parallelogrammi vedi anche qua