Classificazione degli angoli: definizioni, proprietà e relazioni goniometriche

In questo appunto viene spiegato come "nominare" ogni angolo in base alle sue proprietà geometriche, dando anche la definizione di angolo. L'angolo, per definizione, è una delle due parti di piano generate dall'intersezione di due semirette, e anch'esso si compone di alcuni elementi particolari.

Elementi dell'angolo

Come abbiamo già detto, l'angolo è una delle due parti di piano delimitate da due semirette che si intersecano in un punto

, la loro medesima origine.

Tale intersezione si chiama vertice, mentre le due semirette che delimitano l'angolo sono dette lati.
Si ricorda che una semiretta è una delle due parti di retta delimitate da un punto qualsiasi appartenente alla retta.
Ogni angolo ha una sola dimensione, chiamata ampiezza. In base all'ampiezza, possiamo classificare gli angoli in varie categorie.

Angolo convesso

Un angolo si dice convesso quando i prolungamenti dei suoi lati sono esterni all'angolo stesso. Tutti gli angoli aventi ampiezza minore di

sono convessi. Un angolo convesso con vertice in

, si indica, spesso, con la notazione

.

Angolo concavo

Un angolo si dice concavo quando non è convesso, ossia, quando i prolungamenti dei suoi lati sono invece interni all'angolo stesso. Tutti gli angoli aventi ampiezza maggiore di

e minore di

sono concavi. Un angolo concavo con vertice in

, si indica, spesso, con la notazione

.

Angoli consecutivi

Dati due angoli

, essi si dicono consecutivi quando hanno in comune una e una sola semiretta, oltre al vertice.

Angoli adiacenti

Dati due angoli

, essi si dicono adiacenti quando hanno in comune una e una sola semiretta, oltre al vertice, ma le altre due semirette giacciono su una stessa retta. La conseguenza di questa definizione è che due angoli adiacenti hanno somma pari ad un angolo piatto. Inoltre, è importante ribadire che due angoli adiacenti sono sicuramente consecutivi; ma due angoli consecutivi non è detto che siano adiacenti!

Angoli opposti al vertice

Due angoli si dicono opposti al vertice quando i lati di uno, sono i prolungamenti dell'altro, due angoli opposti al vertice hanno la stessa ampiezza e, sono, di conseguenza, congruenti.
Consideriamo due rette secanti

in un punto

, allora si formano quattro angoli: a coppie essi sono opposti al vertice in quanto i lati di uno sono i prolungamenti dell'altro. È inoltre interessante notare che si formano anche due coppie di angoli adiacenti, in quanto il punto di intersezione

, determina due semirette sulla retta

e altre due semirette sulla retta

.

Angolo giro

Esso misura

, i suoi due lati sono dati da due semirette sovrapposte.
Ogni quadrilatero ha la somma degli angoli interni pari ad un angolo giro.

Angolo piatto

L'angolo piatto misura

, i suoi lati sono semirette opposte o adiacenti. L'ampiezza di un angolo piatto è la metà di un angolo giro, infatti

.
Ogni triangolo ha la somma degli angoli interni pari ad un angolo piatto.

Angolo retto

Esso misura

, la sua ampiezza è metà di un angolo piatto, oppure, pari a un quarto dell'ampiezza di un angolo giro. Le semirette che delimitano l'angolo retto si dicono perpendicolari.

Angolo acuto

Un angolo si dice acuto, quando la sua ampiezza è minore di un angolo retto, cioè quando la sua ampiezza è minore di

. Ad esempio, un angolo avente ampiezza

è acuto, mentre un angolo avente ampiezza

non lo è.

Angolo ottuso

Un angolo si dice ottuso, quando la sua ampiezza è maggiore di un angolo retto, cioè quando la sua ampiezza è maggiore di

. Ad esempio, un angolo avente ampiezza

è ottuso, mentre un angolo avente ampiezza

non lo è.

Angoli complementari

Due (o più) angoli si dicono complementari se la loro somma è pari ad un angolo retto, cioè a

.
Consideriamo due angoli

. Se

, allora

si dicono complementari in quanto sommando le loro ampiezze si ottiene appunto

. Diversamente, se

, allora

sono complementari poiché la loro somma vale

Angoli supplementari

Due (o più) angoli si dicono supplementari se la loro somma è pari ad un angolo piatto, cioè a

.
Consideriamo due angoli

. Se

, allora

si dicono supplementari in quanto sommando le loro ampiezze si ottiene appunto

. Diversamente, se

, allora

sono supplementari poiché la loro somma vale

.
In un quadrilatero inscrivibile in una circonferenza, gli angoli opposti sono sempre supplementari.
Inoltre, due angoli supplementari hanno lo stesso seno.

Angoli esplementari

Due (o più) angoli si dicono esplementari se la loro somma è pari ad un angolo giro, cioè a

.
Consideriamo due angoli

. Se

, allora

si dicono esplementari in quanto sommando le loro ampiezze si ottiene appunto

. Diversamente, se

, allora

sono esplementari poiché la loro somma vale

.
Come per gli angoli supplementari esiste una interessante relazione trigonometrica, esiste anche per gli angoli esplementari.
Gli angoli esplementari hanno lo stesso coseno.

Per ulteriori approfondimenti su seno e coseno vedi anche qua