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Elementi di Fisica e applicazioni

Carlo Elce

Moto in due dimensioni

Velocità angolare

La velocità angolare di un oggetto è la velocità di variazione delle sue coordinate angolari, più precisamente è la variazione dell'angolo diviso per la variazione del tempo.

Siccome gli angoli sono normalmente misurati in radianti, la velocità angolare è solitamente misurata in unità di radianti/sec, gradi/sec, o rpm (rivoluzione/min). La frequenza f è collegata a attraverso la costante di proporzionalità 2·.

v

r

s

Variabili

Angolo iniziale:

0

Angolo finale:

f

Intervallo di tempo:

t

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Carlo Elce

Formule

r

s

(radianti) = s/r

Variazione dell'angolo:

= f - 0

Velocità angolare:

= /

Frequenza angolare:

f = / 2·

Esempio 1

Assumiamo che l'orbita della Terra attorno al Sole sia esattamente circolare (non è, in realtà esattamente circolare ma lo è abbastanza). Sappiamo che una rivoluzione attorno al Sole dura 1·anno. Qual è la velocità angolare della Terra? Qual è la frequenza della rivoluzione?

0 := 0·rad

f := 2··rad

Una rivoluzione attorno al Sole è 2··rad = 360·deg.

t := 1·yr

La Terra impiega un anno per girare una volta attorno al Sole. Velocità angolare della Terra:

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f - 0 / t

= 2·10-7 · rad/sec

Frequenza della rivoluzione della Terra:

f := / (2·)

f = 3.169·10-8 · sec-1

f = 1·yr-1

Esempio 2

La Luna ruota attorno alla Terra una volta ogni 27.3 giorni. Qual è la sua velocità angolare?

:= 360·deg

t := 27.3·day

:= / t

= 13.2·deg/day

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Cos'è la velocità angolare e come si calcola Pag. 1
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Sintesi

Introduzione

In quest'appunto di fisica sono fornite delle informazioni sulla velocità angolare e sulla conversione degli angoli in gradianti.

Il ruolo della velocità angolare nei moti circolari

In fisica, ogni cambiamento di posizione nel tempo da parte di un corpo o di un punto materiale descrive un moto. I moti si classificano in relazione alla velocità (costante o meno), al tipo di traiettoria percorsa (circolare o rettilinea) e all'eventuale periodicità delle caratteristiche. In relazione alla velocità è possibile riconoscere:

  • moto uniforme, se la velocità assunta dal corpo è costante
  • moto uniformemente accelerato, se la velocità cambia nel tempo ed è quindi presente un'accelerazione

Per quanto riguarda il tipo di traiettoria, invece, si possono distinguere:

  • il moto rettilineo, se il corpo si muove lungo una linea retta
  • il moto circolare, se la traiettoria è una circonferenza

Oltre ai moti già citati, è possibile riconoscere il moto armonico, la cui traiettoria è data dalla proiezione di un moto circolare a velocità costante.

La velocità angolare è una grandezza collegata al moto circolare, poiché essa esprime la velocità con cui un punto materiale si muove lungo una circonferenza. Tale velocità può essere espressa come il rapporto tra l'angolo al centro percorso e l'intervallo di tempo impiegato

[math]\omega=\frac{d\theta}{dt}[/math]
. Nel moto circolare, tuttavia, la velocità angolare è affiancata dalla velocità tangenziale.

La velocità tangenziale non è altro che il prodotto della velocità angolare per la distanza dal centro della circonferenza, ossia

[math]v=\omega\cdot r[/math]

Attraverso le velocità si può calcolare anche l'accelerazione centripeta, una grandezza che tende a modificare la velocità tangenziale. Essa è un vettore che ha come direzione il raggio della circonferenza, punta sempre al centro e ha come modulo il prodotto tra il quadrato della velocità angolare e la distanza dal centro

[math]\alpha=\omega^2 \cdot r[/math]
. L'accelerazione centripeta è vettorialmente l'opposto dell'accelerazione centrifuga.

Come si calcola la velocità angolare

La velocità angolare è espressa in radianti al secondo

[math]\frac{rad}{s}[/math]
, in quanto, per definizione, l’angolo in radianti è il rapporto tra l’arco che lo sottende e il raggio della circonferenza. La velocità angolare è riferita all’angolo descritto e non all’arco percorso.

Per ottenere la misura dell'angolo in radianti bisogna fare il rapporto tra la misura dell'arco e il raggio sotteso, ossia

[math]\alpha = l : r[/math]
, dove
[math]l[/math]
è la lunghezza dell'arco percorso e dove
[math]\alpha[/math]
è la misura dell'angolo in radianti.

Il radiante è la misura dell’angolo al centro sotteso da un arco uguale al raggio della circonferenza. Se si vuole passare dall'ampiezza in gradi all'ampiezza in gradianti occorre effettuare questa proporzione:

[math]\alpha : 2 \pi = \alpha° : 360°[/math]

dove

[math]\alpha[/math]
è la misura dell'angolo in radianti e
[math]\alpha°[/math]
quella in gradi.

La velocità angolare è il rapporto fra l’angolo descritto dal raggio e l’intervallo di tempo impiegato a descriverlo. Tutti i punti di un corpo rotante ruotano alla stessa velocità angolare.

[math]\omega=2\pi ∶ T[/math]

Questa è la velocità angolare necessaria per completare un giro intero (angolo

[math]2 \pi[/math]
) in un periodo
[math]T[/math]
.

Esercizio 1 sulla velocità angolare

Un corpo si muove di moto circolare uniforme. Supponendo che il corpo percorra un angolo di 45° in 10 secondi, calcola la velocità angolare. Considerando poi che il corpo si trovi a una distanza di 10 cm dal centro della circonferenza, calcola l'accelerazione centripeta.

Svolgimento

Poiché la velocità angolare è espressa in

[math]\frac{rad}{s}[/math]
, è necessario convertire 45 gradi in radianti. La proporzione è:

[math]\alpha:45= 2 \pi :360°[/math]

quindi

[math]\alpha=\frac{ 2 \pi \cdot 45°}{360°}= \frac{\pi}{4}[/math]

La velocità angolare è quindi

[math]\omega=\frac{\pi}{4}:10=0.08 rad/s[/math]

Per calcolare l'accelerazione centripeta basta moltiplicare la velocità angolare per il quadrato della distanza. Quindi:

[math]\alpha=\omega^2 \cdot r=0.08^2 \cdot 0.10=0.00064 m/s^2[/math]

Esercizio 2 sulla velocità angolare

Un punto

[math]A[/math]
e un punto
[math]B[/math]
si muovono di moto circolare secondo velocità angolari differenti sulla stessa traiettoria. In particolare:

  • Il punto A percorre un angolo di 30° in 2,5 secondi
  • Il punto B percorre un angolo di 75° in 5 secondi

Quale punto ha una velocità angolare maggiore?

A che distanza dal centro deve posizionarsi il punto più lento per avere la stessa accelerazione centripeta del più veloce, sapendo che il più veloce si muove ad una distanza dal centro pari a 10 cm?

Svolgimento

Per valutare e confrontare le due velocità angolari è necessario convertire gli angoli in gradianti. Per fare questo impostiamo le due proporzioni:

[math]30°:360°=x_a: 2\pi[/math]

quindi

[math]x_a=\frac{30°\cdot 2\pi}{360°}[/math]

[math]75°:360°=x_b: 2\pi[/math]

quindi

[math]x_b=\frac{75°\cdot 2\pi}{360°}[/math]

da cui discende che

[math]x_a=\frac{\pi}{6},x_b=\frac{5\pi}{12}[/math]
.

Dopo aver convertito gli angoli in radianti calcoliamo le velocità angolari. Per quanto riguarda la velocità del punto

[math]A[/math]
:

  • [math]v_a=\frac{\frac{\pi}{6}}{2,5}= \frac{\pi}{15}[/math]

la velocità del punto

[math]B[/math]
è, invece:

  • [math]v_b=\frac{\frac{5\pi}{12}}{5}= \frac{5\pi}{60}[/math]

Una volta calcolate le velocità angolari, possiamo affermare con certezza quale dei due punti procede più velocemente.

Poiché

[math]\frac{5}{60}>\frac{\pi}{15}[/math]
, il punto
[math]B[/math]
è quello che presenta velocità maggiore.

A questo punto, bisogna passare alla seconda richiesta, ossia la distanza

[math]r[/math]
a cui il punto più lento - in questo caso
[math]A[/math]
- debba posizionarsi per avere la stessa accelerazione centripeta di
[math]B[/math]
, che si muove ad una distanza
[math]r_b=10 cm[/math]
dal centro.

Sapendo che le accelerazioni centripete sono definite come

[math]\alpha=\omega^2\cdot r[/math]
, possiamo dire che:

[math]\alpha_a={\frac{\pi}{15}}^2\cdot r_a[/math]

e

[math]\alpha_b={\frac{5\pi}{60}}^2\cdot 10[/math]
.

Eguagliamo le due espressioni e ricaviamo l'incognita

[math]r_a[/math]
in questo modo:

[math]\alpha_a={\frac{\pi}{15}}^2\cdot r_a=\alpha_b={\frac{5\pi}{60}}^2\cdot 10[/math]

quindi

[math]r_a=\frac{{\frac{5\pi}{60}}^2\cdot 10}{{\frac{\pi}{15}}^2}[/math]

La distanza dal centro

[math]r_a[/math]
a cui il punto
[math]A[/math]
deve posizionarsi per avere la stessa accelerazione centripeta del punto
[math]B[/math]
è 15,6 cm.

Per ulteriori approfondimenti sulla velocità angolare vedi anche qua
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