Concetti Chiave
- Una perlina di massa m si muove su un filo circolare rigido di raggio r, con velocità iniziale V0 e attrito dinamico μ.
- Nel contesto di assenza di gravità, l'attrito influenza la velocità della perlina nel tempo riducendola progressivamente.
- L'equazione differenziale che descrive il moto della perlina è risolta separando le variabili, ottenendo l'espressione per v(t).
- La forza d'attrito dipende dalla forza centripeta e si esprime come Fa = μ * Fc = μ * m * (v^2/r).
- Il risultato finale mostra che la velocità nel tempo è data da v(t) = (v0r) / (r + μv0t).
Si consideri una perlina di massa
[math]m[/math]
libera di muoversi su un filo rigido sottile circolare di raggio [math]r[/math]
. La perlina riceve una velocità iniziale [math]V_0[/math]
e il coefficiente di attrito dinamico tra il filo e la perlina è [math]\mu;[/math]
. L'esperienza viene eseguita in un veicolo spaziale alla deriva nello spazio (c'è dunque assenza di gravità ).
Dimostrare che la velocità della pallina in funzione del tempo è
[math]v(t)=\frac{v_0r}{r+ \mu v_0t}[/math]
Calcoliamo la forza d'attrito. La forza centripeta è:
[math]F_c=m\frac{v^2}{r}[/math]
La forza di attrito è perciò:
[math]F_a=\mu\cdot F_c=\mu\cdot m \cdot \frac{v^2}{r}[/math]
L'accelerazione della pallina è dunque, semplificando la massa:
[math]a=-\mu\cdot \frac{v^2}{r}[/math]
ovvero [math]\frac{dv}{dt}=-\mu\cdot \frac{v^2}{r}[/math]
Questa equazione differenziale si può risolvere seeparando le variabili Si ottiene:
[math]\frac{dv}{v^2}=-\mu \frac{dt}{r}[/math]
Integrando entrambi i membri si ha:
[math]\int_{v_0}^v\frac{dv}{v^2}=-\frac{\mu}{r}\int_{0}^t dt[/math]
Sono due integrali facili, abbiamo subito
[math]-\frac{1}{v}+\frac{1}{v_0}=\frac{\mu}{r} \cdot t[/math]
Esplicitando rispetto a [math]v[/math]
, otteniamo facilmente la relazione del testo.
[math]v=\frac{v_0r}{r+ \mu v_0t}[/math]
FINE
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
