Concetti Chiave
- Le leggi di Keplero, sviluppate nel XVII secolo, descrivono il movimento dei pianeti attorno al Sole e sono fondamentali per l'astronomia moderna.
- La prima legge di Keplero stabilisce che le orbite planetarie sono ellittiche, con il Sole situato in uno dei due fuochi dell'ellisse.
- La seconda legge di Keplero afferma che il raggio vettore di un pianeta copre aree uguali in tempi uguali, indicando che i pianeti si muovono più velocemente al perielio.
- La terza legge di Keplero stabilisce una relazione matematica tra il periodo orbitale di un pianeta e il suo semiasse maggiore, dimostrando una proporzionalità cubica.
- Un esempio di calcolo del semiasse maggiore di Plutone, con un periodo siderale di 248 anni, illustra l'applicazione pratica della terza legge di Keplero.
In questo appunto si trovano le nozioni riguardanti le Leggi di Keplero, arricchite da immagini ed equazioni.
Indice
A cosa servono le leggi di Keplero
Le leggi di Keplero sono state elaborate e dimostrate nel diciassettesimo secolo: in tale periodo storico, l'interesse verso discipline come l'astronomia e la meccanica era crescente.
Keplero realizzò queste leggi seguendo l'influenza Copernicana: quest'ultimo fisico, infatti, fu il primo ad affermare che fosse la Terra a girare intorno al Sole. Le leggi di Keplero vennero realizzate per descrivere il movimento dei pianeti intorno al Sole.
Successivamente, esse sono state riprese da Newton che la arricchì attraverso il concetto di forza gravitazionale.
Cosa affermano le prime due leggi di Keplero
Le Leggi di Keplero permettono di descrivere in maniera dettagliata il movimento dei pianeti intorno al sole. Per parlare di tale fenomeno, bisogna fare riferimento a tre concetti: la forma dell'orbita descritta, la velocità del movimento, la distanza dal Sole. Per ognuno di questi concetti vi è una legge apposita.
La prima legge di Keplero descrive attentamente la geometria dell'orbita tracciata dal pianeta intorno al Sole. In questo caso, Keplero fornisce anche la posizione di quest'ultima stella: essa, infatti, occupa uno dei due fuochi dell'ellisse.
Ricordiamo che i fuochi di un'ellisse sono due punti appartenenti all'asse maggiore tali che sommando le distanze da qualsiasi punto dell'ellisse esse risultano costanti.
Secondo questa legge, le orbite tracciate sono delle curve leggermente schiacciate ai poli e il Sole è posto in una delle due estremità longitudinali. Ciò significa che, non essendoci geometrie radiali, tutti i pianeti sono posti a una distanza differente dal Sole.
Questa legge, quindi, fornisce una spiegazione scientifica alle diverse condizioni rintracciabili sui differenti pianeti. Saturno, che è il pianeta più lontano dal Sole, presenta una temperatura media di oltre
. Mercurio, invece, che dista meno di
milioni di km dal sole, può raggiungere una temperatura di oltre
.
In determinate condizioni, tutti i pianeti una posizione di massima vicinanza al Sole o di massima distanza dal Sole. La prima posizione viene definita perielio mentre la seconda afelio.
La seconda legge di Keplero descrive il raggio vettore, ossia una retta immaginaria che collega, istante per istante, il pianeta in movimento e il Sole. Il raggio vettore può essere considerato al pari di una lancetta in movimento: con il passare del tempo, essa definisce sull'ellisse degli archi di estensione crescente.
Se si considerano due istanti ben definiti, è possibile individuare due posizioni limite del raggio vettore e i due punti limite dell'arco ellittico tracciato. Unendoli si può ottenere un'area. La seconda legge di Keplero aiuta a caratterizzare proprio quest'ultima: in particolare, essa afferma che a parità di intervallo di tempo considerato, tale superficie sarà sempre uguale.
Dimostrare matematicamente questa legge è molto difficile, ma l'intero ragionamento si fonda sul concetto che i pianeti non sono in moto a velocità costante. Essi, infatti, si muovono molto più velocemente quando si avvicinano al perielio e molto più lentamente quando si avvicinano all'afelio.
Cosa afferma la terza legge di Keplero
I pianeti si muovono attorno al Sole descrivendo orbite ellittiche . Una ellisse ha due assi, il maggiore e il minore.
Il semiasse maggiore di una ellisse è la metà della lunghezza dell'asse stesso. Allo stesso modo, il semiasse minore è la metà della lunghezza dell'asse minore. Sapendo questo possiamo enunciare la Terza Legge di Keplero sul Moto dei pianeti intorno al Sole. Il quadrato del periodo orbitale siderale di un pianeta
è uguale al cubo del suo semiasse maggiore
.
Ma attenzione! Cos'è un periodo orbitale siderale? E' il tempo necessario ad un pianeta per girare intorno al Sole in relazione agli astri. Per la Terra, esso è
giorni.
Così, riassumendo,
dove
è il periodo siderale del pianeta in anni e
è la lunghezza del suo semiasse maggiore in Unità Astronomiche
.
Le variabili da considerare sono quindi il periodo siderale e la lunghezza del semiasse maggiore. Esse sono collegate da una relazione matematica, in particolare:
La terza legge di Keplero afferma quindi che vi è una proporzionalità tra le orbite percorse dai pianeti intorno al Sole e la loro distanza dal sole. Tale proporzionalità è cubica.
Esempio: calcolo della lunghezza del semiasse maggiore in Unità astronomiche
Calcola la lunghezza del semiasse maggiore di plutone sapendo che il suo periodo siderale è di
anni.
Svolgimento
In questo caso, il valore di
ammonta a
(
). Per calcolare la lunghezza del semiasse maggiore bisogna applicare la formula
, quindi
.
Se volessimo fare lo stesso calcolo sulla Terra, dovremmo considerare che il suo periodo siderale
è pari a uno. Per questo motivo
. La lunghezza del semiasse è pari all'Unità astronomica, che equivale alla distanza media tra la Terra e il Sole.
Per ulteriori approfondimenti sulla legge di Keplero vedi anche qui
Domande da interrogazione
- A cosa servono le leggi di Keplero?
- Cosa afferma la prima legge di Keplero?
- Come si caratterizza il raggio vettore secondo la seconda legge di Keplero?
- Cosa stabilisce la terza legge di Keplero?
- Come si calcola la lunghezza del semiasse maggiore di un pianeta?
Le leggi di Keplero descrivono il movimento dei pianeti intorno al Sole, influenzate dal modello copernicano, e sono state successivamente arricchite da Newton con il concetto di forza gravitazionale.
La prima legge di Keplero afferma che i pianeti si muovono su orbite ellittiche con il Sole in uno dei due fuochi, spiegando le diverse condizioni sui pianeti a causa delle loro distanze variabili dal Sole.
La seconda legge di Keplero descrive il raggio vettore come una linea immaginaria che collega il pianeta al Sole, affermando che l'area coperta dal raggio vettore in intervalli di tempo uguali è costante, riflettendo la variazione di velocità del pianeta.
La terza legge di Keplero stabilisce che il quadrato del periodo orbitale di un pianeta è proporzionale al cubo del suo semiasse maggiore, indicando una relazione matematica tra la distanza dal Sole e il tempo di rivoluzione.
La lunghezza del semiasse maggiore si calcola usando la formula \(a=\sqrt[3]{P^2}\), dove \(P\) è il periodo siderale del pianeta. Ad esempio, per Plutone con un periodo di 248 anni, il semiasse maggiore è 39,97 unità astronomiche.
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