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La curva dell'energia potenziale

La funzione

[math]U(x)[/math]
dell'energia potenziale rispetto alla posizione (la curva dell'energia potenziale) fornisce informazioni significative sul comportamento dei sistemi entro i quali agisce una forza conservativa.
  • L'intensità della forza conservativa
    [math]\textbf{F}[/math]
    che agisce nel sistema corrisponde, in qualsiasi istante, all'inverso della pendenza della curva
    [math]U(x)[/math]
    dell'energia potenziale.
  • [math]\text{se } \Delta U(x) = -L = -F(x)\ \Delta x \text{ allora }\\ F(x) = - \frac{\Delta U(x)}{\Delta x} \text{ e al limite } F(x) = - \frac{dU(x)}{dx}[/math]

  • Il valore della curva
    [math]U(x)[/math]
    sommato al corrispondente valore della funzione energia cinetica
    [math]K(x)[/math]
    restituisce il valore (costante) dell'energia meccanica
    [math]E_{mec}[/math]
    associata al sistema.

  • La funzione energia cinetica
    [math]K(x)[/math]
    (definita sul quadrato della velocità) è necessariamente positiva, perciò, quando la curva dell'energia potenziale
    [math]U(x)[/math]
    interseca la retta dell'energia meccanica associata al sistema (punto di inversione), lo spostamento del corpo in moto entro quest'ultimo si arresta (
    [math]E_{mex} – U(x) = 0[/math]
    ) e, per effetto della forza
    [math]\textbf{F}[/math]
    , prosegue nella direzione opposta.

Quando la curva dell'energia potenziale e la retta dell'energia meccanica assumono lo stesso valore, senza dare luogo a punti di inversione (cioè senza intersecarsi), la funzione energia cinetica è necessariamente nulla, così come la forza
[math]\textbf{F}[/math]
agente nel sistema (
[math]\frac{-dU(x)}{dx} = 0[/math]
). In corrispondenza di tali situazioni:
  • se la curva
    [math]U(x)[/math]
    è sovrapposta alla retta dell'energia meccanica, qualunque spostamento non produce variazioni di energia immediate, perciò il corpo considerato all'interno del sistema si trova in equilibrio indifferente (ad esempio una biglia immobile su un piano orizzontale);

  • se la curva
    [math]U(x)[/math]
    lambisce la retta dell'energia meccanica dal basso, uno spostamento minimo in qualunque direzione corrisponde a una forza tale da indurre il corpo considerato nella direzione stessa, perciò quest'ultimo si trova in equilibrio instabile (ad esempio una biglia sulla cuspide di una piramide);

  • se la curva
    [math]U(x)[/math]
    lambisce la retta dell'energia meccanica dall'alto, la configurazione del sistema non può cambiare (qualunque spostamento renderebbe l'energia cinetica negativa), perciò il corpo considerato all'interno del sistema si trova in equilibrio stabile (ad esempio una biglia sul fondo di una ciotola emisferica).

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