Cinematica - accelerazione (2)

Appunto di Fisica sulla Cinematica e sulle grandezze del moto, con definizione e formule di accelerazione media e istantanea nel moto in una o più dimensioni

SteDV
di SteDV
Habilis
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Concetti Chiave

  • L'accelerazione è il rapporto tra il cambiamento di velocità e il tempo impiegato, misurata in m/s².
  • L'accelerazione media si calcola come il rapporto tra la variazione di velocità e l'intervallo di tempo su un intero spostamento.
  • L'accelerazione istantanea è la derivata della velocità rispetto al tempo, rappresentando il tasso di variazione in un istante specifico.
  • Nella grafica della funzione velocità-tempo, l'accelerazione media è la pendenza della secante, mentre l'istantanea è quella della tangente.
  • Un'accelerazione negativa indica una decelerazione, mentre la velocità istantanea può essere ottenuta integrando l'accelerazione.

La velocità di un corpo in moto può variare, da una velocità (istantanea) iniziale

[math]v_0[/math]
a una velocità (istantanea) finale
[math]v[/math]
, secondo la grandezza fisica chiamata accelerazione.
Tale grandezza corrisponde al rapporto tra la differenza di velocità nei due istanti considerati e la durata dello spostamento compiuto dal corpo nell'intervallo di tempo che circoscrivono.

Precisamente, si definiscono:

  • accelerazione media
    [math]\overline{\textbf{a}}[/math]
    , il rapporto che, considerando la durata (significativa) di un intero spostamento, esprime il valore medio dell'accelerazione che ha caratterizzato il moto durante il suo svolgimento;

    • [math]\text{nel caso unidimensionale (moto rettilineo): }[/math]

    [math] \overline{a} = \frac{∆v}{∆t} = \frac{v – v_0}{t – t_0}[/math]

    [math]\text{nel caso bidimensionale o tridimensionale: }[/math]

    [math] \overline{\textbf{a}} = \frac{\textbf{∆v}}{∆t} = \frac{\textbf{v} - \textbf{v}_0}{t – t_0}[/math]

  • accelerazione istantanea
    [math]\textbf{a}[/math]
    (o semplicemente accelerazione), il rapporto che, considerando uno spostamento infinitesimo, esprime l'accelerazione del moto in un preciso istante (algebricamente, corrisponde al limite per
    [math]∆t \rightarrow 0[/math]
    dell'accelerazione media, cioè alla derivata prima della velocità rispetto al tempo e alla derivata seconda della posizione rispetto al tempo).
[math]\text{nel caso unidimensionale (moto rettilineo): }[/math]
[math]a = \lim_{∆t \to 0} \overline{a} = \lim_{∆t \to 0} \frac{∆v}{∆t} = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{dx}{dt}) = \frac{d^2x}{dt^2}[/math]

[math]\text{nel caso bidimensionale o tridimensionale: }[/math]

[math]\textbf{a} = \lim_{∆t \to 0} \overline{\textbf{a}} = \lim_{∆t \to 0} \frac{\textbf{∆v}}{∆t} = \frac{d \textbf{v}}{dt} = \frac{d}{dt} (\frac{d \textbf{r}}{dt}) = \frac{d^2 \textbf{r}}{dt^2}[/math]

NOTA 1 - L'accelerazione corrisponde al rapporto tra una misura di velocità e un intervallo di tempo, pertanto si esprime in metri al secondo quadrato (m/s2).
NOTA 2 - Un'accelerazione con verso negativo corrisponde, evidentemente, a una decelerazione.
NOTA 3 - Poiché l'accelerazione (istantanea) corrisponde alla derivata prima della velocità

[math]\textbf{v}[/math]
rispetto al tempo
[math]r[/math]
, vale la relazione inversa, cioè la velocità (istantanea) risulta dall'integrale dell'accelerazione.

[math]\textbf{a} = \frac{d \textbf{v}}{dt} \rightarrow d \textbf{v} = \textbf{a} dt \rightarrow \textbf{v} = \int \textbf{a} dt[/math]

L'accelerazione (media o istantanea) è ben visualizzata dalla funzione

[math]v(t)[/math]
che descrive il moto attraverso la relazione tra velocità e tempo.
Nella rappresentazione grafica di tale funzione:
  • l'accelerazione media corrisponde alla pendenza della retta secante i punti corrispondenti alle velocità iniziale e finale considerate;
  • l'accelerazione istantanea corrisponde alla pendenza della retta tangente la funzione
    [math]v(t)[/math]
    nel punto considerato.

Domande da interrogazione

  1. Che cos'è l'accelerazione media e come si calcola?

    2. L'accelerazione media è il rapporto tra la variazione di velocità e la durata dello spostamento. Si calcola come [math] \overline{a} = \frac{∆v}{∆t} = \frac{v – v_0}{t – t_0}[/math] nel caso unidimensionale.

  2. Come si definisce l'accelerazione istantanea?

    3. L'accelerazione istantanea è il limite dell'accelerazione media quando l'intervallo di tempo tende a zero. È la derivata prima della velocità rispetto al tempo, espressa come [math]a = \frac{dv}{dt}[/math] nel caso unidimensionale.

  3. Qual è la relazione tra accelerazione e velocità istantanea?

    4. L'accelerazione istantanea è la derivata della velocità rispetto al tempo, mentre la velocità istantanea è l'integrale dell'accelerazione, espressa come [math]\textbf{v} = \int \textbf{a} dt[/math].

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