L'EQUAZIONE DI DIRAC

Oggi vi spiegherò come risolvere l'equazione di Dirac, che viene definita l'equazione più "romantica" e "bella" della Fisica.

L'equazione di Dirac enuncia: Dal principio di corrispondenza un termine

[math]\propto E^{2}[/math]
porta un termine
[math]\propto \frac{∂^{2}}{∂t^{2}}[/math]
mentre
[math]ρ=j^{0} \propto \frac{∂}{∂t}[/math]
t come si vede dalle equazioni ricavate per definire una densità di probabilità nel caso di
[math]K-G[/math]
.

Riscriviamo una versione dell'equazione

[math]K-G[/math]
che contenga solo derivate prima rispetto al tempo e derivate prime rispetto alle coordinate. Dunque abbiamo: (
[math]α_{1},α_{2},α_{3},β[/math]
sono coefficienti arbitrari)


[math]i \hbar \frac{∂ψ}{∂t}=\frac{\hbar c}{i} (α_{1} \frac{∂ψ}{∂x_{1}}+α_{2} \frac{∂ψ}{∂x_{2}}+α_{3} \frac{∂ψ}{∂x_{3}})+βmc^{2}ψ≡Hψ[/math]


A questo punto, possiamo notare che se quadriamo l'equazione per ottenere un'equazione del tipo

[math]K-G[/math]
, osserviamo che otterremo termini che, nell'equazione originale di
[math]K-G[/math]
, non comparivano . Dunque ordiniamo i termini nel seguente modo:


[math]-\hbar \frac{∂^{2}ψ}{∂t^{2}}=\\
\\
\\
=\ \hbar^{2}c^{2}(\sum_{ij=1}^{3} \frac{α_{i}α_{j}+α_{j}α_{i}}{2} \frac{∂^{2}ψ}{∂x_{i}∂x_{j}})+β^{2}m^{2}c^{4}ψ+ \to \\
\\
\\
\to +\frac{\hbarc^{3}m}{i} \sum_{i=1}^{3} (α_{i}β+βα_{i}) \frac{∂ψ}{∂x_{j}}φ[/math]


Come possiamo osservare, abbiamo espresso il principio di corrispondenza, infatti abbiamo recuperato la formula:

[math]E^{2}=p^{2}+m^{2}[/math]
ed affinché l'equazione sia compatibile con quest'ultima relazione, è necessario che i coefficienti
[math]α_{i}, β[/math]
soddisfano determinate condizioni. Infatti non devono comparire dei termini che coinvolgano derivate miste, termini contenenti derivate spaziali miste, derivati spaziali e masse e i coefficienti che sono davanti derivati le quali sono pari a
[math]=1[/math]
.
Dunque valgono le seguenti condizioni:


[math]α_{i}β + βα_{i} = 0\\
\\
β^{2} = α^{2}_{i}=1 \to i=1,2,3\\
\\
α_{i}α_{k} + α_{k}α_{i}=0 \to i \neq k[/math]


Per avere autovalori reali, le condizioni

[math]α_{i}, β[/math]
non possono essere numeri, ma bensì matrici hermitiane e uguali alla propria inversa. Queste due condizioni vincolano gli autovalori di queste matrici ad essere
[math]±1[/math]
. Consideriamo la seguente traccia e determiniamo le matrici
[math]α_{i}, β[/math]
:


[math]trα_{i}=tr(α_{i}β^{2})=tr(α_{i}ββ)=tr(βα_{i}β)=tr(−α_{i}ββ)=tr(-α_{i})[/math]


Come possiamo osservare, si è usata la proprietà della traccia di essere ciclica nel terzo passaggio e nel quarto passaggio la proprietà di anticommutazione . Il risultato di questa traccia, vincola le matrici

[math]α_{i}[/math]
di avere traccia nulla ed avere ordine pari.

--> Se le matrici hanno ordine dispari, non possono avere traccia nulla e possono assumere i valori

[math]±1[/math]
e la traccia di unamatrice ´e la somma dei suoi autovalori.

Le matrici di Pauli soddisfano queste caratteristiche, ed in questo caso si riescono a trovare

[math]4[/math]
matrici che soddisfano i criteri richiesti. Quindi scegliamo la seguente scelta, che è la scelta di Dirac:


[math]α_{i} =\begin{vmatrix}0&σ_{i}\\σ_{i}&0\\\end{vmatrix}\ \ β = \begin{vmatrix}1_{2}&0\\0&-1_{2}\\\end{vmatrix}[/math]


Dove

[math]σ_{i}[/math]
sono le matrici di Pauli:


[math]σ_{i} =\begin{vmatrix}0&1\\1&0\\\end{vmatrix}\ \ σ_{2} =\begin{vmatrix}0&-i\\i&0\\\end{vmatrix}\ \ σ_{3} =\begin{vmatrix}1&0\\0&-1\\\end{vmatrix}[/math]


Ora dal momento che, le matrici

[math]σ_{i}, β[/math]
sono matrici
[math]4*4[/math]
,
[math]ψ[/math]
dell’equazione deve essere un oggetto a
[math]4[/math]
componenti. Quindi la nostra equazione diventa:


[math]i \hbar \frac{∂ψ_{γ}}{∂t}=\frac{\hbar c}{i} \sum_{τ=1}^{4} αi_{γτ}+ \frac{∂ψ_{τ}}{∂x_{i}}+ \to \\
\\
\\
\to +\sum_{τ=1}^{2} mc^{2} β_{γτ}ψ_{τ}= \sum{τ=1}^{4} H_{γτ}ψ_{τ}[/math]


A questo punto, come possiamo osservare,

[math]γ[/math]
numera le righe delle matrici, e
[math]σ[/math]
e
[math]τ[/math]
numera le colonne delle matrici
[math]σ[/math]
, quindi:
[math]γ, τ =0,1,2,3[/math]
. Quindi:


[math]β = γ^{0} =\begin{vmatrix}1_{2}&0\\0&-1_{2}\\\end{vmatrix} \ \ γ_{i} = βσ_{i} =\begin{vmatrix}0&σ_{i}\\-σ_{i}&0\\\end{vmatrix}[/math]


Data quest'ultima matrice, indichiamo con

[math]γ^{ν}, ν = 0,1,2,3[/math]
, della quale si verifica la proprietà di anticommutazione
[math][γ^{µ}, γ^{ν}]=2g^{µν}[/math]
. Omettendo gli indici matriciali
[math]γ, τ[/math]
e ponendo
[math]\hbar = c = 1[/math]
, otteniamo la seguente equazione:


[math](i\frac{∂}{∂t}-\frac{1}{i}α_{i} \frac{∂}{∂x_{i}}-mβ)ψ = 0[/math]


A questo punto, per dimostrare ed ottenere l'equazione di Dirac, è necessario moltiplicare tutti i termini per

[math]β[/math]
, si ottiene:


[math](iγ^{0} \frac{∂}{∂t}-iγ^{i} \frac{∂}{∂x_{i}}-m1_{4})ψ = 0[/math]


Eseguendo il prodotto di matrici per derivate, si ottiene L'equazione di Dirac:


[math](iγ^{µ}∂_{µ} − m)ψ = 0[/math]

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