Equazione di Dirac

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Concetti Chiave

L'equazione di Dirac è considerata una delle più belle della fisica grazie alla sua eleganza e complessità.
Per essere compatibile con la relazione \(E^2 = p^2 + m^2\), i coefficienti \(\alpha_i\) e \(\beta\) devono soddisfare specifiche condizioni matematiche.
Le matrici coinvolte nell'equazione di Dirac, come le matrici di Pauli, devono essere hermitiane con autovalori \(\pm1\) e traccia nulla.
L'equazione utilizza matrici \(4\times4\), quindi la funzione d'onda \(\psi\) è un oggetto a quattro componenti.
L'equazione di Dirac finale è espressa come \((i\gamma^{\mu}\partial_{\mu} - m)\psi = 0\), dimostrando la sua compatibilità con la meccanica quantistica relativistica.

L'EQUAZIONE DI DIRAC

Oggi vi spiegherò come risolvere l'equazione di Dirac, che viene definita l'equazione più "romantica" e "bella" della Fisica.

L'equazione di Dirac enuncia: Dal principio di corrispondenza un termine

[math]\propto E^{2}[/math]

porta un termine

[math]\propto \frac{∂^{2}}{∂t^{2}}[/math]

mentre

[math]ρ=j^{0} \propto \frac{∂}{∂t}[/math]

t come si vede dalle equazioni ricavate per deﬁnire una densità di probabilità nel caso di

[math]K-G[/math]

Riscriviamo una versione dell'equazione

[math]K-G[/math]

che contenga solo derivate prima rispetto al tempo e derivate prime rispetto alle coordinate. Dunque abbiamo: (

[math]α_{1},α_{2},α_{3},β[/math]

sono coefficienti arbitrari)

[math]i \hbar \frac{∂ψ}{∂t}=\frac{\hbar c}{i} (α_{1} \frac{∂ψ}{∂x_{1}}+α_{2} \frac{∂ψ}{∂x_{2}}+α_{3} \frac{∂ψ}{∂x_{3}})+βmc^{2}ψ≡Hψ[/math]

A questo punto, possiamo notare che se quadriamo l'equazione per ottenere un'equazione del tipo

[math]K-G[/math]

, osserviamo che otterremo termini che, nell'equazione originale di

[math]K-G[/math]

, non comparivano . Dunque ordiniamo i termini nel seguente modo:

[math]-\hbar \frac{∂^{2}ψ}{∂t^{2}}=\\
\\
\\
=\ \hbar^{2}c^{2}(\sum_{ij=1}^{3} \frac{α_{i}α_{j}+α_{j}α_{i}}{2} \frac{∂^{2}ψ}{∂x_{i}∂x_{j}})+β^{2}m^{2}c^{4}ψ+ \to \\
\\
\\
\to +\frac{\hbarc^{3}m}{i} \sum_{i=1}^{3} (α_{i}β+βα_{i}) \frac{∂ψ}{∂x_{j}}φ[/math]

Come possiamo osservare, abbiamo espresso il principio di corrispondenza, infatti abbiamo recuperato la formula:

[math]E^{2}=p^{2}+m^{2}[/math]

ed affinché l'equazione sia compatibile con quest'ultima relazione, è necessario che i coefficienti

[math]α_{i}, β[/math]

soddisfano determinate condizioni. Infatti non devono comparire dei termini che coinvolgano derivate miste, termini contenenti derivate spaziali miste, derivati spaziali e masse e i coefficienti che sono davanti derivati le quali sono pari a

[math]=1[/math]

.
Dunque valgono le seguenti condizioni:

[math]α_{i}β + βα_{i} = 0\\
\\
β^{2} = α^{2}_{i}=1 \to i=1,2,3\\
\\
α_{i}α_{k} + α_{k}α_{i}=0 \to i \neq k[/math]

Per avere autovalori reali, le condizioni

[math]α_{i}, β[/math]

non possono essere numeri, ma bensì matrici hermitiane e uguali alla propria inversa. Queste due condizioni vincolano gli autovalori di queste matrici ad essere

[math]±1[/math]

. Consideriamo la seguente traccia e determiniamo le matrici

[math]α_{i}, β[/math]

[math]trα_{i}=tr(α_{i}β^{2})=tr(α_{i}ββ)=tr(βα_{i}β)=tr(−α_{i}ββ)=tr(-α_{i})[/math]

Come possiamo osservare, si è usata la proprietà della traccia di essere ciclica nel terzo passaggio e nel quarto passaggio la proprietà di anticommutazione . Il risultato di questa traccia, vincola le matrici

[math]α_{i}[/math]

di avere traccia nulla ed avere ordine pari.

--> Se le matrici hanno ordine dispari, non possono avere traccia nulla e possono assumere i valori

[math]±1[/math]

e la traccia di unamatrice ´e la somma dei suoi autovalori.

Le matrici di Pauli soddisfano queste caratteristiche, ed in questo caso si riescono a trovare

[math]4[/math]

matrici che soddisfano i criteri richiesti. Quindi scegliamo la seguente scelta, che è la scelta di Dirac:

[math]α_{i} =\begin{vmatrix}0&σ_{i}\\σ_{i}&0\\\end{vmatrix}\ \ β = \begin{vmatrix}1_{2}&0\\0&-1_{2}\\\end{vmatrix}[/math]

Dove

[math]σ_{i}[/math]

sono le matrici di Pauli:

[math]σ_{i} =\begin{vmatrix}0&1\\1&0\\\end{vmatrix}\ \ σ_{2} =\begin{vmatrix}0&-i\\i&0\\\end{vmatrix}\ \ σ_{3} =\begin{vmatrix}1&0\\0&-1\\\end{vmatrix}[/math]

Ora dal momento che, le matrici

[math]σ_{i}, β[/math]

sono matrici

[math]4*4[/math]

[math]ψ[/math]

dell’equazione deve essere un oggetto a

[math]4[/math]

componenti. Quindi la nostra equazione diventa:

[math]i \hbar \frac{∂ψ_{γ}}{∂t}=\frac{\hbar c}{i} \sum_{τ=1}^{4} αi_{γτ}+ \frac{∂ψ_{τ}}{∂x_{i}}+ \to \\
\\
\\
\to +\sum_{τ=1}^{2} mc^{2} β_{γτ}ψ_{τ}= \sum{τ=1}^{4} H_{γτ}ψ_{τ}[/math]

A questo punto, come possiamo osservare,

[math]γ[/math]

numera le righe delle matrici, e

[math]σ[/math]

[math]τ[/math]

numera le colonne delle matrici

[math]σ[/math]

, quindi:

[math]γ, τ =0,1,2,3[/math]

. Quindi:

[math]β = γ^{0} =\begin{vmatrix}1_{2}&0\\0&-1_{2}\\\end{vmatrix} \ \ γ_{i} = βσ_{i} =\begin{vmatrix}0&σ_{i}\\-σ_{i}&0\\\end{vmatrix}[/math]

Data quest'ultima matrice, indichiamo con

[math]γ^{ν}, ν = 0,1,2,3[/math]

, della quale si verifica la proprietà di anticommutazione

[math][γ^{µ}, γ^{ν}]=2g^{µν}[/math]

. Omettendo gli indici matriciali

[math]γ, τ[/math]

e ponendo

[math]\hbar = c = 1[/math]

, otteniamo la seguente equazione:

[math](i\frac{∂}{∂t}-\frac{1}{i}α_{i} \frac{∂}{∂x_{i}}-mβ)ψ = 0[/math]

A questo punto, per dimostrare ed ottenere l'equazione di Dirac, è necessario moltiplicare tutti i termini per

[math]β[/math]

, si ottiene:

[math](iγ^{0} \frac{∂}{∂t}-iγ^{i} \frac{∂}{∂x_{i}}-m1_{4})ψ = 0[/math]

Eseguendo il prodotto di matrici per derivate, si ottiene L'equazione di Dirac:

[math](iγ^{µ}∂_{µ} − m)ψ = 0[/math]

Domande da interrogazione

Qual è l'importanza dell'equazione di Dirac nella fisica?

L'equazione di Dirac è considerata una delle equazioni più "romantiche" e "belle" della fisica, poiché unisce la meccanica quantistica con la teoria della relatività ristretta, descrivendo il comportamento delle particelle come gli elettroni.

Quali sono le condizioni necessarie per i coefficienti [math]α_{i}[/math] e [math]β[/math] nell'equazione di Dirac?

I coefficienti devono soddisfare le condizioni [math]α_{i}β + βα_{i} = 0[/math], [math]β^{2} = α^{2}_{i}=1[/math] per [math]i=1,2,3[/math], e [math]α_{i}α_{k} + α_{k}α_{i}=0[/math] per [math]i \neq k[/math], e devono essere matrici hermitiane con autovalori [math]±1[/math].

Qual è il ruolo delle matrici di Pauli nell'equazione di Dirac?

Le matrici di Pauli sono utilizzate per costruire le matrici [math]α_{i}[/math] e [math]β[/math] che soddisfano le condizioni richieste per l'equazione di Dirac, permettendo di rappresentare le componenti di spin delle particelle.

Come si ottiene l'equazione di Dirac a partire dall'equazione di Klein-Gordon?

Si riscrive l'equazione di Klein-Gordon in termini di derivate prime rispetto al tempo e alle coordinate, e si impongono condizioni sui coefficienti per evitare termini indesiderati, ottenendo infine l'equazione di Dirac.

Qual è la forma finale dell'equazione di Dirac?

La forma finale dell'equazione di Dirac è [math](iγ^{µ}∂_{µ} − m)ψ = 0[/math], dove [math]γ^{µ}[/math] sono matrici che soddisfano la proprietà di anticommutazione e [math]ψ[/math] è un oggetto a quattro componenti.

Equazione di Dirac

Appunto di Fisica che spiega in modo dettagliato l'equazione di Dirac, l'equazione più "romantica" della Fisica.

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