Equazione di un'onda viaggiante

In questo appunto vengono introdotte le relazioni tra lunghezza d’onda, frequenza e velocità di un’onda e viene fornito un esempio esplicativo.

Grandezze fisiche coinvolte

Quando parliamo di onda bisogna introdurre tre grandezze fondamentali: la lunghezza d'onda , la velocità e l'ampiezza .
Tali grandezze sono legate tra di loro in un certo modo per ricavarne altre derivate, che riassumiamo di seguito:

• Si definisce periodo di un'onda la quantità
  [math] T = \frac{\lambda}{v} [/math]
  ;
• Si definisce numero d'onda la quantità
  [math] k = \frac{2 \pi}{\lambda} [/math]
  ;
• Si definisce frequenza angolare la quantità
  [math] \omega = \frac{2 \pi}{T} [/math]
  .

Propagazione di un'onda

Per descrivere come si propaga un'onda nello spazio e nel tempo si usa la formula:
Vediamo un esempio:
Supponiamo di avere un'onda di ampiezza , lunghezza d'onda e velocità di propagazione .
Allora è possibile trovare come si muove l'onda nel tempo e nello spazio trovando i vari parametri discussi nella formula precedente.
In particolare si trova:

Ora abbiamo tutti i parametri necessari per rappresentare l'onda (anche graficamente, se lo si desidera).
L'equazione dell'onda è:

Osservazioni a posteriori

Cerchiamo ora di capire il significato fisico di alcuni dei parametri facendo alcune osservazioni di natura matematica sulla formula dell'equazione dell'onda. Come già detto, l'equazione di propagazione dell'onda è:
Osserviamo che, qualsiasi esso sia l'argomento reale, il seno è una funzione limitata, in particolare assume tutti i valori compresi tra e .
Quindi, il parametro , detto anche ampiezza dell'onda, definisce quanto essa è alta nei suoi punti di picco (siano essi in alto o in basso). Infatti, siccome il seno è limitato tra e possiamo dire che l'onda "vive" nel rettangolo .

Il numero d'onda

può essere visto come una misura di quanto frequenti sono le onde nello spazio. Infatti, data la formula:
Proviamo a calcolare la derivata parziale rispetto a . Si ottiene così:
La derivata, com'è noto, rappresenta un tasso di crescita o decrescita di una funzione, che come è evidente in questo caso, dipende da . Pertanto, più è alto , più velocemente cresce l'onda (non nel tempo ma in lunghezza!) e presenta più oscillazioni.

Infine, la frequenza angolare

è una misura molto simile a quella sopra, ma relativa al numero di oscillazioni nel tempo.
Infatti calcolando la derivata rispetto a si ottiene una formula molto simile a quella di prima:
il che fa dedurre che più alto è il valore di , maggiore è il numero di oscillazioni nel tempo.