Concetti Chiave
- I moduli dei vettori \(\vec{a}\) e \(\vec{b}\) sono rispettivamente 5,0 e 8,0 unità.
- Il vettore \(\vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{b}\) ha un modulo di 20 unità.
- Per calcolare l'angolo tra \(\vec{a}\) e \(\vec{b}\), si utilizza la formula \(\sin(\alpha) = \frac{c}{ab}\).
- Il seno dell'angolo \(\alpha\) è \(\frac{1}{2}\), corrispondente a un angolo di 30°.
- Il vettore \(\vec{d} = \vec{b} \cdot \vec{a}\) ha lo stesso modulo ma direzione opposta rispetto a \(\vec{c}\) a causa della proprietà anticommutativa.
In questo appunto imparerai a calcolare l'angolo compreso tra due vettori, oltre a ricordare alcune proprietà fondamentali del calcolo vettoriale e, in particolare, del prodotto vettoriale.
Testo dell'esercizio
I due vettori[math]\vec{a}[/math]
e [math]\vec{b}[/math]
hanno modulo rispettivamente di [math]5,0[/math]
e [math]8,0[/math]
unità. Il vettore [math]\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}[/math]
ha modulo pari a [math]20[/math]
unità.- Calcola l'ampiezza dell'angolo acuto formato dalle direzioni dei due vettori [math]\vec{a}[/math]e[math]\vec{b}[/math].
- Il vettore [math]\vec{d} = \vec{b} \times \vec{a}[/math]ha lo stesso modulo di[math]\vec{c}[/math]?
Svolgimento (1)
Possiamo calcolare il modulo del vettore risultante dal prodotto vettoriale di altri due vettori con la formula[math]|\vec{c}| = |\vec{a} \cdot \vec{b}| = |a||b| \cdot \sin (\alpha)[/math]
Di conseguenza, se vogliamo calcolare l'ampiezza dell'angolo formato dai due vettori, ricaviamo il seno dell'angolo dalla formula precedente, chiamando per comodità di notazione [math] a = |\vec{a}|, b = |\vec{b}|, c = |\vec{c}| [/math]
.[math]c = ab \cdot \sin (\alpha) \to \sin (\alpha) = \frac{c}{ab} [/math]
[math]\\sin (\alpha) = \frac{c}{ab} = \frac{20}{40} = \frac{1}{2}[/math]
[math]\frac{1}{2}[/math]
, l'angolo ha un'ampiezza di [math]30°[/math]
.
Altrimenti, possiamo calcolare, con la calcolatrice, l'angolo a cui corrisponde il seno noto:
[math]\alpha = arcsin (\frac{1}{2}) = 30°[/math]
Svolgimento (2)
Il vettore[math]\vec{d} = \vec{b} \times \vec{a}[/math]
ha lo stesso modulo e la stessa direzione del vettore [math]\vec{c}[/math]
, poiché è dato dalla stessa formula; tuttavia, questo vettore avrà verso opposto, infatti vale la proprietà anticommutativa:[math] \vec{b} \times \vec{a} = - \vec{a} \times \vec{b}[/math]
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
