Calcolo di un angolo formato da due vettori

_francesca.ricci
di _francesca.ricci
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Erectus
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Appunto di fisica che spiega come determinare l'ampiezza dell'angolo formato da due vettori: utilizzo di proprietà  goniometriche e della definizione di modulo di vettore.

Concetti Chiave

  • I moduli dei vettori \(\vec{a}\) e \(\vec{b}\) sono rispettivamente 5,0 e 8,0 unità.
  • Il vettore \(\vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{b}\) ha un modulo di 20 unità.
  • Per calcolare l'angolo tra \(\vec{a}\) e \(\vec{b}\), si utilizza la formula \(\sin(\alpha) = \frac{c}{ab}\).
  • Il seno dell'angolo \(\alpha\) è \(\frac{1}{2}\), corrispondente a un angolo di 30°.
  • Il vettore \(\vec{d} = \vec{b} \cdot \vec{a}\) ha lo stesso modulo ma direzione opposta rispetto a \(\vec{c}\) a causa della proprietà anticommutativa.

In questo appunto imparerai a calcolare l'angolo compreso tra due vettori, oltre a ricordare alcune proprietà fondamentali del calcolo vettoriale e, in particolare, del prodotto vettoriale.

Testo dell'esercizio

I due vettori
[math]\vec{a}[/math]
e
[math]\vec{b}[/math]
hanno modulo rispettivamente di
[math]5,0[/math]
e
[math]8,0[/math]
unità. Il vettore
[math]\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}[/math]
ha modulo pari a
[math]20[/math]
unità.
  • Calcola l'ampiezza dell'angolo acuto formato dalle direzioni dei due vettori
    [math]\vec{a}[/math]
    e
    [math]\vec{b}[/math]
    .
  • Il vettore
    [math]\vec{d} = \vec{b} \times \vec{a}[/math]
    ha lo stesso modulo di
    [math]\vec{c}[/math]
    ?

Svolgimento (1)

Possiamo calcolare il modulo del vettore risultante dal prodotto vettoriale di altri due vettori con la formula
[math]|\vec{c}| = |\vec{a} \cdot \vec{b}| = |a||b| \cdot \sin (\alpha)[/math]
Di conseguenza, se vogliamo calcolare l'ampiezza dell'angolo formato dai due vettori, ricaviamo il seno dell'angolo dalla formula precedente, chiamando per comodità di notazione
[math] a = |\vec{a}|, b = |\vec{b}|, c = |\vec{c}| [/math]
.
[math]c = ab \cdot \sin (\alpha) \to \sin (\alpha) = \frac{c}{ab} [/math]
Quindi:
[math]\\sin (\alpha) = \frac{c}{ab} = \frac{20}{40} = \frac{1}{2}[/math]
Dalla goniometria, sappiamo che se il seno di un angolo è uguale ad
[math]\frac{1}{2}[/math]
, l'angolo ha un'ampiezza di
[math]30°[/math]
.

Altrimenti, possiamo calcolare, con la calcolatrice, l'angolo a cui corrisponde il seno noto:

[math]\alpha = arcsin (\frac{1}{2}) = 30°[/math]

Svolgimento (2)

Il vettore
[math]\vec{d} = \vec{b} \times \vec{a}[/math]
ha lo stesso modulo e la stessa direzione del vettore
[math]\vec{c}[/math]
, poiché è dato dalla stessa formula; tuttavia, questo vettore avrà verso opposto, infatti vale la proprietà anticommutativa:
[math] \vec{b} \times \vec{a} = - \vec{a} \times \vec{b}[/math]
In sintesi, si conserva la direzione e il modulo, ma non il verso!

Domande da interrogazione

  1. Come si calcola l'ampiezza dell'angolo formato da due vettori dati i loro moduli e il modulo del loro prodotto vettoriale?

    2. L'ampiezza dell'angolo tra due vettori può essere calcolata utilizzando la formula del prodotto vettoriale: \(|\vec{c}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin(\alpha)\). Risolvendo per \(\sin(\alpha)\), si ottiene \(\sin(\alpha) = \frac{|\vec{c}|}{|\vec{a}||\vec{b}|}\). Nel caso specifico, \(\sin(\alpha) = \frac{20}{40} = \frac{1}{2}\), il che corrisponde a un angolo di \(30^\circ\).

  2. Qual è la proprietà anticommutativa del prodotto vettoriale e come influisce sui vettori risultanti?

    3. La proprietà anticommutativa del prodotto vettoriale afferma che \(\vec{b} \times \vec{a} = -\vec{a} \times \vec{b}\). Ciò significa che i vettori risultanti hanno lo stesso modulo e direzione, ma verso opposto.

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