Un razzo lanciato verso la luna.... (forza di attrazione gravitazionale)

Esercizi di meccanica: applicazione della forza di attrazione gravitazionale tra corpi nello spazio

_francesca.ricci
di _francesca.ricci
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Concetti Chiave

  • Il razzo si arresta nel punto dove la forza gravitazionale della Terra e della Luna è uguale in modulo ma opposta in direzione.
  • Le masse della Terra e della Luna sono rispettivamente 5,98 x 10^24 kg e 0,07 x 10^24 kg.
  • La distanza tra la Terra e la Luna è di 3,84 x 10^8 metri.
  • Il rapporto delle distanze dal razzo alla Terra e alla Luna è calcolato come la radice quadrata del rapporto delle masse, risultando in 9,24.
  • Il razzo si trova a 3,47 x 10^8 metri dalla Terra e a 0,375 x 10^8 metri dalla Luna.
Un razzo lanciato verso la luna si arresta nel punto in cui la forza di attrazione gravitazionale dovuta alla Terra e quella dovuta alla Luna hanno lo stesso modulo e la stessa direzione, ma verso opposti.
  • In quale punto del segmento che unisce il centro della terra e il centro della Luna si trova il razzo?

Prima di tutto, riportiamo alcuni valori che potrebbero esserci utili nello svolgimento:

[math]M_T = 5,98 \cdot 10^24 kg[/math]

[math]M_L = 0,07 \cdot 10^24 kg[/math]

[math]d_(T,L) = 3,84 \cdot 10^8 m[/math]

Il razzo subisce due forze attrattive, quella della Luna e quella della Terra:

[math]F_T = G \cdot frac(M_T \cdot m_g)(d_T ^2) , F_L = G \cdot frac(M_L \cdot m_g)(d_L ^2)[/math]

Sapendo che la forza di attrazione gravitazionale dovuta alla Terra e quella dovuta alla Luna hanno lo stesso modulo, possiamo eguagliare le due formule:

[math]F_T = F_L[/math]

Abbiamo quindi:

[math] G \cdot frac(M_T \cdot m_g)(d_T ^2) = G \cdot frac(M_L \cdot m_g)(d_L ^2)[/math]

Possiamo semplificare la costante di gravitazione universale e la massa del razzo:

[math] frac(M_T )(d_T ^2) = frac(M_L)(d_L ^2)[/math]

Conoscendo le due masse, possiamo trovare il rapporto fra le distanze del razzo dalla Terra e dalla Luna:

[math] frac(d_T ^2)(d_L ^2) = frac(M_T)(M_L)[/math]

Si ricava:

[math] frac(d_T)(d_L) = \sqrt{frac(M_T)(M_L)} = \sqrt(frac (5,98 \cdot 10^24 kg)(0,07 \cdot 10^24 kg)) = 9,24 [/math]

Conoscendo la distanza Terra-Luna, possiamo impostare un sistema:

( \begin{cases} frac{d_T}{d_L} = 9,24 \ d_T + d_L = 3,84 cdot 10^8 m end{cases} )

Ricaviamo dalla prima equazione la distanza dalla Terra, poi sostituiamola alla seconda equazione:

( \begin{cases} d_T =d_L cdot 9,24 \ 9,24 d_L + d_L = 3,84 cdot 10^8 m end{cases} )

( \begin{cases} d_T =d_L cdot 9,24 \ 10,24 d_L = 3,84 cdot 10^8 m end{cases} )

( \begin{cases} d_T =d_L cdot 9,24 \ d_L = frac{3,84 cdot 10^8 m}{10,24} = 0,375 cdot 10^8 m end{cases} )

Possiamo ora ricavare anche l'altra distanza:

( \begin{cases} d_T = 0,375 cdot 10^8 cdot 9,24 = 3,47 cdot 10^8 m \ d_L = 0,375 cdot 10^8 m end{cases} )

Il razzo, quindi, si trova a

[math]3,47 \cdot 10^8 m[/math]

dalla Terra e a

[math]0,375 \cdot 10^8 m[/math]

dalla Luna.

Domande da interrogazione

  1. Dove si arresta il razzo nel suo viaggio verso la Luna?

    2. Il razzo si arresta nel punto in cui la forza di attrazione gravitazionale della Terra e quella della Luna hanno lo stesso modulo e direzione opposta.

  2. Qual è il rapporto tra le distanze del razzo dalla Terra e dalla Luna?

    3. Il rapporto tra le distanze del razzo dalla Terra e dalla Luna è 9,24, calcolato come la radice quadrata del rapporto tra le masse della Terra e della Luna.

  3. Quali sono le distanze specifiche del razzo dalla Terra e dalla Luna?

    4. Il razzo si trova a 3,47 x 10^8 metri dalla Terra e a 0,375 x 10^8 metri dalla Luna.

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