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Le trasformazioni di Lorentz

Le trasformazioni di Lorentz legano le coordinate spazio-temporali

[math]x,y,z,t[/math]
di un evento in un sistema di riferimento inerziale
[math]S[/math]
alle coordinate
[math]x’,y’,z’,t’[/math]
dello stesso evento in un sistema di riferimento
[math]S’[/math]
in moto rettilineo uniforme rispetto a
[math]S[/math]
con velocità
[math]v[/math]
diretta lungo l’asse
[math]x[/math]
.
Si suppone che i sistemi abbiamo gli assi coordinati paralleli e al tempo
[math]t=t’=0[/math]
siano coincidenti.
Esse sono:
[math]
\left\{\begin{array}{l}
x’=\delta(x-vt)\\
y’=y\\
z’=z\\
t’=\delta\left(t-\frac{v}{c^2} x\right)
\end{array}\right.[/math]

avendo indicato
[math]\delta=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}[/math]

Queste trasformazioni rispettano i 2 postulati della relatività ristretta(quindi rispetto a queste sono invarianti sia le leggi della meccanica che quelle dell’elettromagnetismo, da esse si deducono leggi di composizione delle velocità che salvaguardano la costanza della velocità della luce) e nel limite di velocità molto basse

[math](v/c\to 0)[/math]
sono riconducibili alle trasformazioni di galileo.
Dalle trasformazioni di Lorentz si può dedurre la legge della relativistica di composizione della velocità:
[math]u’=\frac{u-v}{1-\frac{uv}{c^2}}[/math]

Se
[math]u=c[/math]
anche
[math]u’=c[/math]
.


La dilatazione dei tempi
Secondo la relatività speciale il tempo non è assoluto, quindi non scorre nello stesso modo in tutti i sistemi di riferimento. Sulla base delle trasformazione di Lorentz è possibile dimostrare che la durata di un fenomeno risulta maggiore se misurata da un osservatore in moto rispetto al fenomeno stesso.
Questa è la dilatazione dei tempi, che deriva dal fatto che la velocità della luce è la stessa in tutti i sistemi di riferimento, mentre le distanze percorse sai raggi luminosi sono diverse.

E’ possibile dimostrare che, se
[math]\Delta t[/math]
è l’intervallo di tempo fra 2 eventi misurato in un sistema di riferimento in cui essi accadono nello stesso punto spaziale, l’intervallo
[math]\Delta t’[/math]
misurato invece in un sistema di riferimento in moto rettilineo uniforme con velocità
[math]v[/math]
rispetto al primo risulta:

[math]\Delta t’=\delta\Delta t>\Delta t[/math]

Infatti dalle leggi di Lorentz possiamo ricavare che

[math]\Delta t'=t_2'-t_1'=\delta\left(t_2-\frac{v}{c^2} x_2\right)-\delta\left(t_1-\frac{v}{c^2} x_1\right)=\Delta(t_2-t_1)=\Delta\Delta t[/math]

poiché

[math]x_2=x_1[/math]
.

Una delle prove sperimentali della dilatazione dei tempi è l’allungamento della vita media dei muoni, particelle μ che vengono prodotto nell’alta atmosfera dal bombardamento dei raggi cosmico e che si muovo con vel prossime a quelle della luce. Vita media 2,22μs. Se non avvenisse la dilatazione dei tempi un muone, muovendosi circa con

[math]v=c[/math]
potrebbe percorre al più 600m. I muoni prodotti nell’alta atmosfera riescono, invece, a percorrere distanze molto più lunghe, arrivando anche in prossimità delle superficie terrestre.

Contrazione delle lunghezze
È una conseguenza delle trasformazioni di Lorentz. Si intende che gli oggetti in moto rispetto a un osservatore appaiono contratti nella direzione del moto rispetto alla misura effetuata da un osservatore in quiete rispetto ad essi.

[math]L’=\frac{L}{\delta} < L[/math]

Dove
[math]L[/math]
misura effetuata dall’osservatore in quiete;
[math]L’[/math]
misura lunghezza effettuata dall’osservatore in moto con velocità
[math]v[/math]
rispetto all’oggetto.
Un esempio di ciò sono Il paradosso dei gemelli e il paradosso della macchina nel garage.

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