Concetti Chiave
- Una proporzione equilibra due rapporti, generalmente scritta come a:b = c:d, dove a e d sono gli estremi, mentre b e c sono i medi.
- La proprietà fondamentale a·d = b·c permette di risolvere le proporzioni, semplificando la ricerca di incognite anche complesse.
- Un esempio pratico mostra come il tempo impiegato da un'impresa di pulizie sia direttamente proporzionale al numero dei piani di un grattacielo.
- Per risolvere l'esercizio, si imposta una proporzione riducendo il numero di piani a un terzo, semplificando la ricerca del tempo richiesto.
- La soluzione finale dimostra che il tempo necessario è ridotto a 4.5 ore quando il numero di piani è diminuito di tre volte.
Quando si parla di proporzione, è importante ricordare che stiamo eguagliando due rapporti. Infatti una proporzione si scrive in generale nella forma:
[math] a: b = c:d [/math]
[math] a, b, c, d [/math]
sono i termini della proporzione. Inoltre [math] a, d[/math]
sono detti estremi mentre [math] b,c [/math]
sono detti medi, e vale, in particolare:[math] a \cdot d = b \cdot c [/math]
Testo dell'esercizio
Il tempo[math]t[/math]
impiegato da un'impresa di pulizie per lavare i vetri delle finestre di un grattacielo è direttamente proporzionale al numero [math]n[/math]
dei piani del grattacielo. Per un dato valore di [math]n[/math]
, l' impresa impiega un tempo [math]t= 13,5 ore[/math]
per portare a termine il lavoro. Che valore assume [math]t[/math]
se il numero di piani è tre volte più piccolo?
Soluzione dell'esercizio
In questo caso sembra che dobbiamo determinare sia[math] n[/math]
che il tempo. Non è esattamente così, però. Possiamo provare a scrivere la proporzione e osservare che, a conti fatti, si semplifica tutto!Impostiamo la proporzione come numero di piani: tempo:
[math] n: 13.5 h = \frac{n}{3} : x [/math]
[math] \frac{n}{3} [/math]
è la scrittura che viene utilizzata per indicare "3 volte più piccolo".Usando le proprietà delle proporzioni troviamo che:
[math] x = \frac{13.5 h \cdot \frac{n}{3}}{n} = \frac{13.5 h}{3} = 4.5 h [/math]
[math] n [/math]
si semplifica sopra e sotto!Dunque la risposta è 4.5 h.
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