Messaggeri in movimento

Esercizio sul calcolo delle posizioni reciproche di due punti materiali in moto che partono da posizioni opposte: applicazione delle leggi orarie.

_francesca.ricci
di _francesca.ricci
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Concetti Chiave

  • I messaggeri A e B partono a mezzogiorno dai rispettivi castelli, separati da 30 km, e si muovono a velocità costanti di 17 km/h e 13 km/h rispettivamente.
  • La distanza totale percorsa dai messaggeri al momento dell'incontro è 30 km, risolvendo l'equazione del percorso: 17t + 13t = 30.
  • I due messaggeri si incontrano dopo un'ora di viaggio, calcolato risolvendo l'equazione per il tempo t = 1 h.
  • I messaggeri si incontrano a 17 km dal castello di A, calcolando lo spazio percorso da A in un'ora.
  • La soluzione grafica utilizza un grafico spazio-tempo, con A che parte da 0 km e B che inizia da 30 km, muovendosi verso il basso.

In questo appunto risolveremo un esercizio relativo al moto rettilineo uniforme in cui applicheremo le leggi orarie del moto.
Si ricorda che tale legge si scrive nella forma:

[math] x(t) = x_0 + v \cdot t [/math]
dove
[math] x_0, v, t [/math]
rappresentano rispettivamente la posizione iniziale, la velocità e il tempo trascorso.
Ovviamente le due leggi orarie che scriveremo dovranno essere coerenti con il medesimo sistema di riferimento! Vediamo il testo dell'esercizio.

Indice

  1. Testo dell'esercizio
  2. Svolgimento dell'esercizio (1)
  3. Svolgimento dell'esercizio (2)
  4. Svolgimento dell'esercizio (3)

Testo dell'esercizio

Due messaggeri
[math]A[/math]
e
[math]B[/math]
si devono incontrare per scambiarsi delle lettere. Entrambi partono a cavallo a mezzogiorno dai loro castelli, collegati da una strada rettilinea lunga
[math]30 km[/math]
. Il messaggero
[math]A[/math]
corre alla velocità costante di
[math]17 km/h[/math]
, il messaggero
[math]B[/math]
di
[math]13 km/h[/math]
.
  • A che distanza dal castello di
    [math]A[/math]
    si incontrano?
  • Dopo quanto tempo dalla partenza si incontrano?
  • Trova la soluzione anche per via grafica.

Svolgimento dell'esercizio (1)

Per risolvere il primo punto dobbiamo creare un'equazione che ci permetta ti trovare il tempo che impiegano i due messaggeri per compiere il proprio percorso.

Troviamo, quindi, lo spazio che i due percorrono con la formula inversa della velocità:

[math] v = s/t \to s = v \cdot t [/math]

[math] s_A = 17 km/h \cdot t [/math]

[math] s_B = 13 km/h \cdot t [/math]

Sapendo che il percorso è lungo

[math]30 km[/math]
, sappiamo che sommando i due spazi otterremo
[math]30 km[/math]
.

[math] s_A + s_B = 30 km \to 17 km/h \cdot t + 13 km/h \cdot t = 30 km [/math]

Risolviamo l'equazione:

[math] 17 t + 13 t = 30 \to 30 t = 30 \to t = 1 h[/math]

Il tempo che impiegano i due messaggeri è di un'ora. Per sapere, quindi, a quale distanza dal castello di

[math]A[/math]
i due si incontreranno basta calcolare lo spazio che il messaggero
[math]A[/math]
percorre in un'ora.

[math] s = v \cdot t = 17 km/h \cdot 1h = 17 km [/math]

Svolgimento dell'esercizio (2)

Il secondo punto lo abbiamo già risolto nel primo, l'incontro avviene ad un'ora dalla partenza.

Svolgimento dell'esercizio (3)

Per trovare la soluzione per via grafica, costruiamo un grafico spazio-tempo, considerando che il messaggero
[math]A[/math]
parte da una posizione zero, mentre il messaggero
[math]B[/math]
da una posizione corrispondente a
[math]30 km[/math]
, ed è come se dovesse tornare indietro, quindi la retta di
[math]B[/math]
è rivolta verso il basso.

grafico_spazio_tempo

Domande da interrogazione

  1. A quale distanza dal castello di A si incontrano i due messaggeri?

    2. I due messaggeri si incontrano a 17 km dal castello di A, calcolando lo spazio percorso da A in un'ora.

  2. Dopo quanto tempo dalla partenza si incontrano i due messaggeri?

    3. I due messaggeri si incontrano dopo un'ora dalla partenza, come determinato risolvendo l'equazione del tempo.

  3. Come si può trovare la soluzione per via grafica?

    4. La soluzione grafica si ottiene costruendo un grafico spazio-tempo, con A che parte da zero e B da 30 km, con la retta di B rivolta verso il basso.

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