Elettromagnetismo: Forza elettrica con quattro cariche

Appunto in cui si spiega come è calcolata la forza elettrica nel caso della somma di quattro contributi distinti.

_francesca.ricci
di _francesca.ricci
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Concetti Chiave

  • Il problema affronta la determinazione della forza elettrica risultante sulle cariche puntiformi disposte sui vertici di un quadrato.
  • Le cariche sono disposte in modo tale che la forza su una carica è la risultante di più contributi, determinati dalle cariche adiacenti.
  • La forza elettrica su una carica è calcolata utilizzando la legge di Coulomb, tenendo conto dei contributi di altre cariche e della loro disposizione geometrica.
  • In presenza di un mezzo come l'acetone, la forza elettrica è ridotta dalla costante dielettrica relativa, influenzando solo l'intensità e non la direzione o il verso.
  • L'aggiunta di una carica al centro del quadrato comporta il calcolo delle nuove forze risultanti, considerando le interazioni repulsive e attrattive tra le cariche esistenti.

Nel seguente appunto approfondiremo il concetto di forza elettrica agente su una carica. Vedremo come essa può essere influenzata dalla presenza di una determinata struttura geometrica delle cariche. Infatti la forza elettrica sarà in alcuni casi addirittura la somma di ben quattro contributi! Come vedremo di seguito, le cariche sono disposte ai vertici di un quadrato di un certo lato. Vediamo il testo dell'esercizio.

Indice

  1. Testo del problema
  2. Svolgimento del problema - Parte 1
  3. Svolgimento del problema - Parte 2
  4. Svolgimento del problema - Parte 3

Testo del problema

Quattro cariche puntiformi
[math]Q_1 = -2,0 \cdot 10^{-6} C[/math]
,
[math]Q_2 = Q_4 = +5,0 \cdot 10^{-6} C[/math]
e
[math]Q_3 = +3,0 \cdot 10^{-6} C[/math]
sono disposte in senso orario sui vertici di un quadrato di lato
[math]40 cm[/math]
cariche_elettriche
  • Determina direzione, verso e intensità della forza elettrica risultante sulla carica
    [math]Q_1[/math]
    ;
  • Determina direzione, verso e intensità della forza elettrica risultante sulla carica
    [math]Q_1[/math]
    supponendo che le cariche siano immerse in acetone
    [math]\varepsilon_r = 21[/math]
    ;
  • Al centro del quadrato ora è posta una carica
    [math]Q = - 3,0 \cdot 10^{-6} C [/math]
    . Determina direzione, verso e intensità del vettore forza elettrica risultante sulla carica
    [math]Q[/math]
    .

Svolgimento del problema - Parte 1

Sulla carica
[math]Q_1[/math]
agiscono tre forze:
  • abbiamo
    [math]F_2[/math]
    , che dipende da
    [math]Q_2[/math]
    ed è attrattiva, poiché le due cariche sono di segno opposto, e ha direzione giacente sul lato che unisce le due forze, e verso rivolto verso destra;
  • [math]F_4[/math]
    , che dipende da
    [math]Q_4[/math]
    , ha la stessa intensità di
    [math]F_2[/math]
    ed è anch'essa attrattiva; la sua direzione giace sul segmento che unisce le cariche
    [math]Q_1[/math]
    e
    [math]Q_4[/math]
    , e il verso è rivolto verso il basso;
  • [math]F_3[/math]
    , dovuta alla carica
    [math]Q_3[/math]
    , attrattiva; la direzione giace sulla diagonale del quadrato che unisce i vertici corrispondenti alle cariche
    [math]Q_1[/math]
    e
    [math]Q_3[/math]
    , e il verso è rivolto verso la carica
    [math]Q_3[/math]
    .

cariche_elettriche

Per determinare la forza totale che agisce su

[math]Q_1[/math]
calcoliamo la risultante di
[math]F_2[/math]
e
[math]F_4[/math]
applicando la regola del parallelogramma:

forza_risultante

E successivamente, sommiamo i vettori

[math]F_3[/math]
e
[math]F_{2,4}[/math]
:

forza_risultante

Per determinare la sua intensità, dobbiamo prima calcolare l'intensità delle singole forze che la generano; applichiamo quindi la legge di Coulomb:

[math] F_2 = F_4 = k_0 \cdot \frac{Q_1 Q_2}{l^2} = 8,99 \cdot 10^9 \frac{N \cdot m^2}{C^2} \cdot \frac{-2,0 \cdot 10^{-6} C \cdot (5,0 \cdot 10^{-6} C)}{(40 \cdot 10^{-2} m)^2} = -0,56 N [/math]

Sapendo che la risultante di queste due forze può essere considerata come la diagonale del quadrato che formano le forze stesse, possiamo determinarla in questo modo:

[math]F_{2,4} = F_2 \cdot \sqrt{2} = - 0,56 N \cdot \sqrt{2} = - 0,79 N [/math]

La distanza fra

[math]Q_1[/math]
e
[math]Q_3[/math]
corrisponde alla diagonale del quadrato formato dalle quattro cariche e vale:
[math] d = l \sqrt{2} = 40 \cdot 10^{-2} m \cdot \sqrt{2} = 56,57 \cdot 10^{-2} m [/math]

Calcoliamo

[math]F_3[/math]
:
[math] F_3 = k_0 \cdot \frac{Q_1 Q_3}{d^2} = 8,99 \cdot 10^9 \frac{N \cdot m^2}{C^2} \cdot \frac{-2,0 \cdot 10^{-6} C \cdot (3,0 \cdot 10^{-6} C)}{(56,57 \cdot 10^{-2} m)^2)} = -0,17 N [/math]

Per trovare la forza totale sommiamo

[math]F_(2,4) [/math]
e
[math]F_3[/math]
:

[math]F_{TOT} = F_{2,4} + F_3 = -0,79N - 0,17N = - 0,96 N [/math]

Svolgimento del problema - Parte 2

Consideriamo ora che le cariche sono immerse in acetone. La direzione e il verso della forza che agisce su
[math]Q_1[/math]
non varia, ma cambia la sua intensità.
Sappiamo, infatti, che se le cariche si trovano all'interno di un mezzo, la forza che agisce su di esse è data dalla formula
[math]F_m = \frac{F}{\varepsilon_r} [/math]
.

Conoscendo il valore della costante dielettrica relativa, possiamo determinare l'intensità della forza che agisce su

[math]Q_1[/math]
:

[math]F_m = \frac{F}{\varepsilon_r} = \frac{- 0,96 N}{21} = - 0,0457 N = - 4,6 \cdot 10^{-2} N [/math]

Svolgimento del problema - Parte 3

Poniamo ora al centro del quadrato una quinta carica
[math]Q[/math]
:

cariche_elettriche

Determiniamo la direzione e il verso della forza totale che agisce su

[math]Q[/math]
: su questa carica agiscono quattro forze, una repulsiva nei confronti di
[math]Q_1[/math]
, tre attrattive nei confronti di
[math]Q_2[/math]
, e
[math]Q_4[/math]
.

cariche_elettriche

Le forze

[math]F_4[/math]
e
[math]F_2[/math]
, uguali e contrarie, si annullano; la forza totale, quindi, sarà data dalla somma dei vettori
[math]F_1[/math]
e
[math]F_3[/math]
:

cariche_elettriche

Per calcolare la sua intensità, troviamo prima i valori delle forze

[math]F_1[/math]
e
[math]F_3[/math]
:

[math] F_1 = k_0 \cdot \frac{Q_1 Q}{(d/2)^2} = 8,99 \cdot 10^9 \frac{N \cdot m^2}{C^2} \cdot \frac{-2,0 \cdot 10^{-6} C \cdot (-3,0 \cdot 10^{-6} C)}{(28,285 \cdot 10^{-2} m)^2} = 0,67 N [/math]

[math] F_3 = k_0 \cdot \frac{Q Q_3}{(d/2)^2} = 8,99 \cdot 10^9 \frac{N \cdot m^2}{C^2} \cdot \frac{-3,0 \cdot 10^{-6} C \cdot (3,0 \cdot 10^{-6} C)}{(28,285 \cdot 10^{-2} m)^2} = -1,01 N [/math]

Otteniamo quindi la forza totale:

[math]F_{TOT} = F_1 + F_3 = 0,67 N + | - 1,01 N | = 1,7 N [/math]

Domande da interrogazione

  1. Qual è la configurazione delle cariche nel problema?

    2. Le cariche sono disposte ai vertici di un quadrato di lato 40 cm, con valori specifici per ciascuna carica: [math]Q_1 = -2,0 \cdot 10^{-6} C[/math], [math]Q_2 = Q_4 = +5,0 \cdot 10^{-6} C[/math], e [math]Q_3 = +3,0 \cdot 10^{-6} C[/math].

  2. Come si calcola la forza elettrica risultante sulla carica [math]Q_1[/math]?

    3. La forza risultante su [math]Q_1[/math] è la somma vettoriale delle forze [math]F_2[/math], [math]F_4[/math], e [math]F_3[/math], calcolate usando la legge di Coulomb e la regola del parallelogramma.

  3. Cosa cambia quando le cariche sono immerse in acetone?

    4. Quando le cariche sono immerse in acetone, la direzione e il verso della forza su [math]Q_1[/math] non cambiano, ma l'intensità della forza diminuisce a causa della costante dielettrica relativa [math]\varepsilon_r = 21[/math].

  4. Qual è l'effetto di una carica posta al centro del quadrato?

    5. La carica al centro del quadrato subisce forze da tutte le cariche ai vertici. Le forze [math]F_4[/math] e [math]F_2[/math] si annullano, e la forza totale è la somma delle forze [math]F_1[/math] e [math]F_3[/math].

  5. Come si determina l'intensità della forza totale sulla carica centrale [math]Q[/math]?

    6. L'intensità della forza totale sulla carica centrale [math]Q[/math] è calcolata sommando le intensità delle forze [math]F_1[/math] e [math]F_3[/math], ottenendo un valore di [math]1,7 N[/math].

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