Elettromagnetismo: Forza elettrica con quattro cariche

Nel seguente appunto approfondiremo il concetto di forza elettrica agente su una carica. Vedremo come essa può essere influenzata dalla presenza di una determinata struttura geometrica delle cariche. Infatti la forza elettrica sarà in alcuni casi addirittura la somma di ben quattro contributi! Come vedremo di seguito, le cariche sono disposte ai vertici di un quadrato di un certo lato. Vediamo il testo dell'esercizio.

Testo del problema

Quattro cariche puntiformi

,

e

sono disposte in senso orario sui vertici di un quadrato di lato

• Determina direzione, verso e intensità della forza elettrica risultante sulla carica
  [math]Q_1[/math]
  ;
• Determina direzione, verso e intensità della forza elettrica risultante sulla carica
  [math]Q_1[/math]
  supponendo che le cariche siano immerse in acetone
  [math]\varepsilon_r = 21[/math]
  ;
• Al centro del quadrato ora è posta una carica
  [math]Q = - 3,0 \cdot 10^{-6} C [/math]
  . Determina direzione, verso e intensità del vettore forza elettrica risultante sulla carica
  [math]Q[/math]
  .

Svolgimento del problema - Parte 1

Sulla carica

agiscono tre forze:

• abbiamo
  [math]F_2[/math]
  , che dipende da
  [math]Q_2[/math]
  ed è attrattiva, poiché le due cariche sono di segno opposto, e ha direzione giacente sul lato che unisce le due forze, e verso rivolto verso destra;
• [math]F_4[/math]
  , che dipende da
  [math]Q_4[/math]
  , ha la stessa intensità di
  [math]F_2[/math]
  ed è anch'essa attrattiva; la sua direzione giace sul segmento che unisce le cariche
  [math]Q_1[/math]
  e
  [math]Q_4[/math]
  , e il verso è rivolto verso il basso;
• [math]F_3[/math]
  , dovuta alla carica
  [math]Q_3[/math]
  , attrattiva; la direzione giace sulla diagonale del quadrato che unisce i vertici corrispondenti alle cariche
  [math]Q_1[/math]
  e
  [math]Q_3[/math]
  , e il verso è rivolto verso la carica
  [math]Q_3[/math]
  .

Per determinare la forza totale che agisce su

calcoliamo la risultante di

e

applicando la regola del parallelogramma:

E successivamente, sommiamo i vettori

e

:

Per determinare la sua intensità, dobbiamo prima calcolare l'intensità delle singole forze che la generano; applichiamo quindi la legge di Coulomb:

Sapendo che la risultante di queste due forze può essere considerata come la diagonale del quadrato che formano le forze stesse, possiamo determinarla in questo modo:

La distanza fra

e

corrisponde alla diagonale del quadrato formato dalle quattro cariche e vale:

Calcoliamo

:

Per trovare la forza totale sommiamo

e

:

Svolgimento del problema - Parte 2

Consideriamo ora che le cariche sono immerse in acetone. La direzione e il verso della forza che agisce su

non varia, ma cambia la sua intensità.
Sappiamo, infatti, che se le cariche si trovano all'interno di un mezzo, la forza che agisce su di esse è data dalla formula

.

Conoscendo il valore della costante dielettrica relativa, possiamo determinare l'intensità della forza che agisce su

:

Svolgimento del problema - Parte 3

Poniamo ora al centro del quadrato una quinta carica

:

Determiniamo la direzione e il verso della forza totale che agisce su

: su questa carica agiscono quattro forze, una repulsiva nei confronti di

, tre attrattive nei confronti di

, e

.

Le forze

e

, uguali e contrarie, si annullano; la forza totale, quindi, sarà data dalla somma dei vettori

e

:

Per calcolare la sua intensità, troviamo prima i valori delle forze

e

:

Otteniamo quindi la forza totale: