Elettromagnetismo - Nozioni, formule, teorie, leggi

Il modello atomico da noi utilizzato è quello di Bohr, completato dalla costante di Planck.
L’atomo ha un nucleo formato da:
- Neutroni = particelle di massa
- Protoni = particelle di carica positiva
Attorno al nucleo ruotano, con una loro velocità in un’orbita convenzionalmente circolare, degli elettroni, particelle di carica negativa, in numero uguale a quello dei protoni, in un atomo neutro. Essi sono collocati in diversi orbitali, ciascuno con un livello discreto e valori di energia ben precisi: tra essi ci sono i cosiddetti salti di orbitale.

Fenomeno elettrico: fenomeno che non trova una giustificazione nei modelli meccanici, dove la forza è legata alla massa.
Interazione gravitazionale: si sviluppa per la semplice presenza di due masse soggette ad una mutua forza attrattiva.

Legge di gravitazione universale: F = G m1 m2 / r²
con:
- F = forza di attrazione gravitazionale (N)
- G = costante G (Nm²/kg²)
- m1 = massa del primo corpo (kg)
- m2 = massa del secondo corpo (kg)
- r = distanza tra i due corpi
G è detta costante di gravitazione universale e vale: G = 6,67 x 10(alla)-11 Nm²/ kg²

Tramite gli elettroni di legame, ossia quelli appartenenti all’orbitale più esterno, avvengono i legami tra atomi.
Corpo elettrizzato: corpo che ha acquistato la capacità di attirare oggetti leggeri. Esso ha un difetto o un eccesso di elettroni.
Ci sono tre tipi di elettrizzazione: per strofinio, per induzione, per contatto.
- Per strofinio: si ottiene strofinando tra loro due corpi. Gli elettroni passano da un oggetto (che si carica positivamente) a un altro (che si carica negativamente).
- Per contatto: si ottiene mettendo a contatto un corpo elettricamente neutro con uno caricato in precedenza. Una parte delle cariche che si trovano sul corpo elettrizzato si sposta su quello che era neutro.
- Per induzione: si ottiene ponendo un corpo carico (induttore) in prossimità di un conduttore scarico (indotto) costruito in modo d poterlo suddividere in due parti. Senza allontanare il corpo induttore, si separano le due parti del conduttore indotto (bipolo elettrico). A causa dell’induzione elettrostatica le cariche del corpo neutro si separano: quelle dello stesso segno della carica inducente si allontanano da essa, quelle di segno opposto le si avvicinano. Si seguono due principi: 1. Quando ho un corpo complessivamente neutro, ma con addensamenti di cariche, può esserci un’elettrizzazione per induzione. 2. La carica di un corpo è sempre superficiale.

Si chiama polarizzazione la ridistribuzione di carica in un isolante neutro causata dalla vicinanza di un corpo carico.

Negli isolanti tutte le cariche occupano delle posizioni fisse e non possono spostarsi.
Nei conduttori vi sono cariche elettriche che si muovono liberamente.

Coulomb (C): unità di misura della carica elettrica nel Sistema Internazionale.
e (elettrone) = -1,6 x 10(alla)-19 C
p (protone) = +1,6 x 10(alla)-19 C

Carica elementare: la più piccola carica elettrica individuabile.
me = 9,11 x 10(alla)-31 kg
mp = 1,673 x 10(alla)-27 kg
mn = 1,675 x 10(alla)-27 kg

Per ottenere una carica di -1 C occorrono 1 / 1,6 x 10(alla)-19 = 6,2 x 10(alla)18 elettroni
Legge di conservazione della carica elettrica: in un sistema chiuso la somma algebrica delle cariche elettriche si mantiene costante, qualunque siano i fenomeni che in esso hanno luogo.
Interazione elettrica: è una mutua forza che fa avvicinare o allontanare i corpi a seconda delle loro cariche + principio di sovrapposizione degli effetti (la forza totale che agisce su una carica elettrica è uguale alla somma vettoriale delle singole forze che agiscono su di essa se ciascuna delle altre cariche fosse presente da sola).

F = G m1 m2 / r² = la forza elettrica tra due cariche ha la stessa forma matematica della forza gravitazionale tra due masse.

Forza elettrica:
- Tipo di forza: a distanza
- Dipendenza dalla distanza: inverso del quadrato
- Direttamente proporzionale a: prodotto delle cariche
- Valori delle grandezze caratteristiche: cariche positive e negative
- Verso della forza: attrattivo e repulsivo
Forza gravitazionale:
- Tipo di forza: a distanza
- Dipendenza dalla distanza: inverso del quadrato
- Direttamente proporzionale a: prodotto delle masse
- Valori delle grandezze caratteristiche: masse solo positive
- Verso della forza: solo attrattivo

F = K0 x Q1 Q2 / r² à può essere attrattiva o repulsiva (NB: F = G m1 m2 / r² è solo attrattiva).
Con:
- K0 = costante di interazione elettrica
- Q = cariche = grandezze scalari con segno positivo o negativo (NB: m = sempre positiva)
- r = distanza delle due cariche

K0 = 8,9 x 10(alla)9 Nm² / C²
L’interazione è attrattiva quando le cariche sono discordi, è repulsiva quando sono concordi.
K0 = vale nel vuoto (assenza di materia), in un sistema dove non ci sono altri elementi di carica che interferiscono.

Campo elettrico

Nell’ambito dell’interazione elettrica, se c’è una carica o non ce n’è nessuna è indifferente; quando prendiamo in considerazione lo spazio, invece, esso non è più nella stessa condizione, ma è perturbato per la presenza di una sola carica. Una carica Q genera un campo elettrico e la zona di spazio in cui si possono avvertire forze elettriche è sede di un campo elettrico.
Campo elettrico: capacità che lo spazio ha, a certe condizioni, a far muovere le cariche per interazione elettrica. Tale proprietà dello spazio si chiama capacità a interagire (possibilità di interazione), che viene quantificata tramite una carica esplorativa, convenzionalmente unitaria e positiva, che viene introdotta nello spazio preso in considerazione.

Campo elettrico: E = F / q = [N / C]
dove:
- E è una grandezza scalare che rappresenta il campo elettrico (N / C)
- F è la forza (N)
- q la carica esplorativa che quantifica il campo elettrico in un punto (C)
Se la carica q è positiva, il campo elettrico e la forza hanno la stessa direzione e lo stesso verso; se è negativa, hanno la stessa direzione e versi opposti.
Se la carica che crea il campo è positiva, i vettori campo elettrico sono diretti verso l’esterno; se è negativa, verso l’interno.

Quanto più è elevato il campo elettrico, tanto più è facile la scarica, ossia il riportare a zero il campo elettrico. Si parla di rottura del dielettrico, il quale è un ostacolo all’interazione elettrica.
εk0 = 1 / 4πε0
dove ε è relativo a un qualsiasi materiale: è la costante dielettrica di un mezzo e rappresenta l’ostacolo che un materiale oppone all’interazione elettrica e εo è la costante dielettrica del vuoto e rappresenta l’ostacolo all’interazione elettrica nel vuoto.

Le linee (schematizzazione) del campo elettrico:
- in ogni punto sono tangenti al vettore campo elettrico
- sono orientate nel verso del vettore campo elettrico
- escono dalle cariche positive ed entrano in quelle negative
- la loro densità è direttamente proporzionale all’intensità del campo elettrico
L’addensamento delle linee è il parametro valutativo dell’entità del campo elettrico.

Flusso del campo elettrico e Teorema di Gauss

Data una superficie piana descritta dal vettore S e un campo elettrico E costante su S, il flusso del vettore campo elettrico (o flusso del campo elettrico) attraverso S è definito dalla relazione:
Φ (E) = E x S = E x S x cosα
dove:
- Φ è il flusso del campo elettrico (N x m² / C)
- E è la grandezza fisica di riferimento (N / C)
S il vettore superficie (m²) e cosα è l’angolo compreso tra il vettore campo elettrico e il vettore superficie (se sono paralleli, il flusso è massimo, se sono perpendicolari, è minimo; se la superficie è parallela alla linea di campo, il flusso è nullo; se è perpendicolare ad essa, è massimo).
Il flusso è una grandezza scalare che si misura in N / C m².
Il flusso è descritto da:
- modulo = pari all’estensione della superficie
- direzione = perpendicolare alla superficie
- verso = arbitrario

Se la superficie è chiusa, il campo elettrico dipende solo dalla carica presente esternamente o internamente, ed è inversamente proporzionale al materiale in cui è immersa.

Teorema di Gauss: il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa è direttamente proporzionale alla carica totale contenuta all’interno della superficie:
Φ (E) = Q / ε
dove:
- Φ è il flusso del campo elettrico (N x m² / C)
- E è la grandezza fisica di riferimento (N / C)
- Q è la carica totale all’interno della superficie (C)
- ε è la costante dielettrica del mezzo (C² /N x m²)

Potenziale elettrico

Se in uno spazio c’è una carica, so a priori cosa succederà se ne introduco un’altra: c’è la possibilità che le cariche si muovano -> c’è una disponibilità di energia (che è la capacità di compiere un lavoro).

L = F Δr
dove con L ci riferiamo alla trasformazione dell’energia elettrica in energia cinetica.

U è l’energia potenziale elettrica. Si definisce, convenzionalmente, come il lavoro necessario per portare una carica (convenzionalmente) positiva all’infinito.
U = Eq r
dove r = spostamento.

Infinito:
1. Premessa: c’è una dipendenza indiretta tra campo elettrico e distanza. Ogni fenomeno naturale va a cercare l’equilibrio, che si trova al livello più basso di energia possibile, per il principio di conservazione dell’energia.
2. In esso non c’è perturbazione, è come se non ci fossero cariche; è un punto ben preciso dal punto di vista fisico, mentre dal punto di vista matematico è indeterminato.

UA = Eq rAC + k
k = energia del punto di riferimento da cui parte l’osservatore.
UB = Eq rBC + k

L = Eq r -> L = UA – UB = (Eq rAC + k) – (Eq rBC + k) = Eq (rAC – rBC) = Eq r
con k = energia potenziale elettrica di C, una volta positiva, una volta negativa.
ΔUAB = differenza di energia potenziale elettrica.
Concetto di equilibrio + principio di conservazione dell’energia.

Potenziale elettrico (Volt è l’unità di misura) nel punto A: uguale al rapporto tra l’energia potenziale UA (dovuta all’interazione di ciascuna delle cariche che generano il campo con la carica esploratrice q posta in A) e la stessa carica esploratrice q.

V = U / q = [J / C] = energia potenziale elettrica riferita all’unità di carica
ΔV = ΔU / q = differenza di potenziale elettrico
dove:
- V è il potenziale elettrico (J / C o V)
- U è l’energia potenziale elettrica (J)
- q è la carica esploratrice (C)

Le cariche positive “scendono” lungo la differenza di potenziale, cioè passano spontaneamente da punti a potenziale più alto verso punti a potenziale più basso.
Le cariche negative “risalgono” la differenza di potenziale, cioè passano spontaneamente da punti a potenziale più basso verso punti a potenziale più alto.

Potenziale di una carica puntiforme
ΔU = 1 / 4πε x Qq / r
ΔV = 1 / 4πε x Qq / r x 1 / q = 1 / 4πε x Q / r

Si chiama superficie equipotenziale il luogo dei punti dello spazio in cui il potenziale elettrico assume uno stesso valore.
Se la superficie è puntiforme, si ha una sfera concentrica, con una scala per potenziali elettrici decrescente che va dall’interno all’esterno.
ΔV = Er (relazione tra potenziale elettrico e campo elettrico)
dove:
- ΔV è la variazione di potenziale elettrico
- E è il campo elettrico
- r è la distanza.
E = ΔV / r -> forza elettromotrice (causa del movimento di cariche, dell’intensità di corrente elettrica).

Il campo elettrico è descritto da:
- modulo = variazione di potenziale elettrico (distanza tra le due superfici)
- direzione = perpendicolare alle superfici equipotenziali
- verso = diminuzione del potenziale elettrico

Corrente elettrica continua

La presenza del potenziale elettrico induce a un ordine di movimento -> corrente elettrica: moto ordinato di cariche elettriche.

Intensità di corrente elettrica: i = ΔQ / Δt = [C / s] = [A] (ampere, unità di misura fondamentale)
dove:
- i è l’intensità di corrente elettrica (A)
- Q è la carica elettrica (C)
- t è l’intervallo di tempo (s)
Si chiama intensità di corrente elettrica il rapporto tra la quantità di carica che attraversa una sezione del conduttore e l’intervallo di tempo impiegato.
Si definisce verso della corrente elettrica quello in cui si muovono le cariche positive (da punti a potenziale elettrico più alto verso punti che si trovano a potenziale minore).
Una corrente si dice continua quando la sua intensità non cambia nel tempo.

Per mantenere la corrente, occorre ricreare il dislivello di potenziale con una pila o con un altro generatore di tensione, che è un dispositivo capace di mantenere ai suoi capi una differenza di potenziale costante, per un tempo indeterminato e qualunque sia la corrente da cui è attraversato. Esso preleva le cariche positive (convenzionali) dove il potenziale è basso (-) e le trasporta dove il potenziale è alto (+). Poi, quando si trovano a potenziale più alto, le cariche scendono naturalmente lungo il dislivello elettrico, creando una corrente.

Si chiama circuito elettrico un insieme di conduttori connessi in modo continuo e collegati a un generatore.
- Se la catena dei conduttori non è interrotta, il circuito si dice chiuso e in esso fluisce una corrente elettrica.
- Se la catena dei conduttori è interrotta, il circuito si dice aperto e in esso non c’è corrente.

- Più conduttori sono collegati in serie se sono posti in successione tra loro. In essi passa la stessa corrente elettrica.
- Più conduttori sono collegati in parallelo se hanno le prime estremità connesse tra loro e anche i secondi estremi connessi tra loro. Essi sono sottoposti alla stessa differenza di potenziale. La connessione in parallelo consente ai singoli utilizzatori di funzionare in modo indipendente.

Prima legge di Ohm: nei conduttori ohmici l’intensità di corrente è direttamente proporzionale alla differenza di potenziale applicata ai loro capi.
i = ΔV / R
dove:
- i è l’intensità di corrente elettrica (A)
- ΔV la differenza di potenziale (V)
- R la resistenza elettrica (V / A o Ω)
La resistenza elettrica si misura in V / A e la sua unità di misura è l’ohm (Ω).

Il moto di agitazione termica porta gli elettroni a muoversi in tutte le direzioni, urtando gli ioni positivi del reticolo cristallino. Così lo spostamento medio degli elettroni è nullo e non crea nessuna corrente elettrica. Quando si collega il filo di metallo a un generatore, all’interno del filo si genera un campo elettrico che spinge gli elettroni verso il polo positivo, nel verso opposto a quello del vettore E. Così, al moto disordinato di agitazione termica si sovrappone un moto ordinato, e lentissimo, degli elettroni liberi verso i punti a potenziale maggiore.
Un conduttore metallico si scalda perché gli ioni del reticolo cristallino assorbono, attraverso gli urti, l’energia cinetica degli elettroni che sono stati accelerati dal campo elettrico.

Seconda legge di Ohm: la resistenza di un filo conduttore è direttamente proporzionale alla sua lunghezza e inversamente alla sua area trasversale.

Legge che descrive il comportamento:
ΔV / i = R -> ΔV = R i
Legge che descrive la resistenza:
R = ρ l / A
dove:
- R è la resistenza elettrica (Ω)
- ρ la resistività (Ωm)
- l la lunghezza (m)
- A l’area trasversale (m²)
La resistività è un ostacolo che un materiale oppone ad essere attraversato da delle cariche -> conduttori o isolanti.
I metalli sono buoni conduttori perché, essendo lontani dalla saturazione degli orbitali, tendono a cedere elettroni, che sono liberi.
I buoni conduttori elettrici hanno valori della resistività che vanno da 10(alla)-8 Ωm a 10(alla)-5 Ωm; i valori di ρ dei buoni isolanti superano i 10(alla)11 Ωm. Esistono poi delle sostanze con caratteristiche intermedie, che sono dette semiconduttori.

Nei metalli la resistività aumenta al crescere della temperatura. Infatti, quando la temperatura del metallo aumenta, gli ioni del reticolo cristallino oscillano attorno alle posizioni di equilibrio in maniera più veloce e ampia. Ciò rende più probabili gli urti tra elettroni e ioni e, in questo modo, aumenta l’impedimento opposto dal reticolo cristallino al movimento degli elettroni.

l > -> R >
A > -> R t > -> R >

Di solito, quanto T si riduce a zero, la resistività tende a stabilizzarsi e ad acquistare un valore limite. Però in alcuni metalli, come il mercurio, a basse temperature la resistività si annulla bruscamente.
Una volta raggiunto il valore zero a una temperatura specifica, chiamata temperatura critica, la resistività di questi metalli si mantiene nulla fino allo zero assoluto. Questo fenomeno è chiamato superconduttività.
Il miglior risultato ottenuto appartiene a un materiale complesso che risulta avere una temperatura critica di 138K. Temperature di questo tipo sono superiori a quella dell’azoto liquido e quindi possono essere ottenute con tecnologie più semplici di quelle, basate sull’elio liquido, necessarie per rendere superconduttori alcuni metalli (a pressione atmosferica la temperatura di ebollizione dell’azoto è 77K).

Forza di Coulomb nella materia

εr = F / Fm
dove εr è la costante dielettrica relativa del mezzo considerato, ed è un numero puro. Essa misura di quanto l’intensità della forza elettrica è ridotta, rispetto al vuoto, dalla presenza del mezzo.
Nel vuoto ho la massima intensità dell’interazione elettrica, perché non c’è opposizione di materia, quindi Fm = F, per cui la costante dielettrica relativa nel vuoto è uguale a 1. In ogni altro caso, dal momento che F è sempre maggiore di Fm, la costante dielettrica relativa risulta maggiore di 1.
Fm = F / εr
Se sostituiamo al numeratore del secondo membro l’espressione della legge di Coulomb, troviamo l’equazione che fornisce la forza che si esercita in un mezzo materiale tra due cariche puntiformi Q1 e Q2 poste a distanza r:
Fm = k0 / εr x Q1Q2 / r²
Fm = 1 / 4πε0εr x Q1Q2 / r² (formula che descrive l’interazione in un mezzo materiale isolante, con F = Fm).
Grazie, poi, alla costante dielettrica assoluta ε (ε = ε0εr), è possibile scrivere la legge di Coulomb nella forma generale:
F = 1 / 4πε Q1Q2 / r²
Se ε = ε0, la formula descrive la forza di Coulomb nel vuoto (F = F0).

Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie

q = ΔV / Δt
dove:
- q è la portata
- ΔV è il volume di fluido che attraversa la superficie
- Δt è l’intervallo di tempo
Quando la superficie è perpendicolare a v, la portata è data dalla formula: q = Sv (S: superficie, v = velocità).
Quando la superficie è parallela a v, attraverso di essa non passa fluido e, quindi, la portata è uguale a zero.
Per una superficie inclinata rispetto a v, vale la formula: q = Sv cosα (α è l’angolo formato dai vettori v e v⊥.
Il vettore superficie S ha direzione perpendicolare alla superficie e modulo pari all’area S della superficie stessa.
Per una superficie generica il verso è arbitrario. Ma se la superficie che si considera è parte di una superficie chiusa, per convenzione si sceglie come verso di tale vettore quello uscente dalla superficie chiusa.
Il prodotto scalare vS si chiama flusso del vettore velocità v attraverso la superficie S:
φs (v) = vS

Distribuzione della carica nei conduttori in equilibrio elettrostatico

Si chiama equilibrio elettrostatico la condizione in cui tutte le cariche presenti sui conduttori che costituiscono il sistema in esame sono ferme.
All’equilibrio, la carica elettrica presente in eccesso nei conduttori si trova tutta sulla loro superficie esterna.
In una sfera, la densità superficiale di carica σ = ΔQ / ΔS (con ΔQ: variazione della quantità di carica e ΔS: variazione della superficie = [C / m²]) risulta sempre la stessa, ma per conduttori di forma irregolare la carica si concentra nelle parti di esso in equilibrio elettrostatico che hanno una curvatura più accentuata, mentre il valore di σ è minore dove la forma della superficie è meno incurvata e ancora più piccolo nelle zone in cui il conduttore è incavato.

Il campo elettrico e il potenziale in un conduttore all'equilibrio

Anche se la carica netta presente su un conduttore si porta sulla sua superficie esterna, al suo interno si ha una carica totale nulla formata dall’insieme di moltissime cariche dei due segni.
Perciò all’interno di un conduttore carico in equilibrio elettrostatico il campo elettrico è nullo.
Sulla superficie di un conduttore carico in equilibrio elettrostatico il campo elettrico ha direzione perpendicolare alla superficie stessa.
Il potenziale elettrico ha lo stesso valore in tutti i punti all’interno e sulla superficie di un conduttore carico in equilibrio elettrostatico.
La superficie esterna di un conduttore carico in equilibrio elettrostatico è sempre una superficie equipotenziale.

Condensatore

Un condensatore piano è formato da due lastre metalliche parallele, chiamate armature, poste a una distanza piuttosto piccola rispetto alla loro estensione.
Si chiama condensatore un dispositivo formato da due armature in modo che, quando una di esse riceve la carica +Q, l’altra acquista per induzione una carica –Q.
La carica Q presente sull’armatura positiva di un condensatore è direttamente proporzionale alla differenza di potenziale ΔV tra le armature. Quindi il rapporto tra le due grandezze è costante. Si definisce allora la capacità elettrica del condensatore come:
C = Q / ΔV
dove:
- C è la capacità (C / V o F)
- Q la carica elettrica accumulata (C)
- ΔV la differenza di potenziale a cui sono poste le piastre (V)
La capacità di un condensatore dipende non dalla sua forma e dalle sue dimensioni, ma dalle grandezze elettriche. Si misura in farad (F).

Resistori in serie e in parallelo

Si chiama resistore un componente elettrico che segue la prima legge di Ohm.
Si chiama resistenza equivalente della rete di resistori quella di un singolo resistore che, sottoposto alla stessa differenza di potenziale a cui è soggetta l’intera rete, assorbe dal generatore la stessa corrente elettrica.
Req = ΔV / ieq
La resistenza equivalente di più resistori posti in serie è uguale alla somma delle resistenze dei singoli resistori: Req = R1 + R2 + R3 + … + Rn.
Di solito, in un circuito, i fili di connessione hanno resistenze trascurabili rispetto a quelle dei resistori con cui sono collegati in serie e, quindi, si possono considerare come conduttori ideali (di resistenza zero). Le resistenze dei fili sono inglobate in quelle dei resistori.
Se si hanno più resistori collegati in parallelo, l’inverso della loro resistenza equivalente è uguale alla somma degli inversi delle resistenze dei singoli resistori: 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + … + 1/Rn.
Ogni resistore aggiunto in parallelo diminuisce la resistenza totale del circuito, perché si offre una possibilità in più al fluire della corrente elettrica.

Leggi di Kirchhoff

Le leggi di Kirchhoff esprimono le proprietà fondamentali di qualunque circuito ohmico.
Un nodo è un punto in cui convergono tre o più conduttori.
Una maglia è un tratto chiuso di circuito.
Una maglia è fatta di più rami che connettono due nodi.

Premesse:
- Principio di conservazione della carica: la quantità di carica totale in un sistema rimane inalterata.
- Principio di conservazione dell’energia: l’energia totale in un sistema si mantiene costante.

La legge dei nodi stabilisce che la somma delle intensità di corrente entranti in un nodo è uguale alla somma di quelle uscenti (principio di conservazione della carica).
La legge delle maglie afferma che la somma algebrica delle differenze di potenziale che si incontrano percorrendo una maglia è uguale a zero / in una maglia la somma delle differenze di potenziale fornite è uguale alla somma delle differenze di potenziale dissipate (principio di conservazione dell’energia).