Elettromagnetismo: Nel circuito della figura si ha ∆V_1 = 12 V , ∆V_2 = 15 V , R_1 = 10 Ω , R_2 = 35 Ω e R_3 = 50 Ω .

Daniele Grassucci
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Risoluzione di un circuito, calcolo del valore di tutte le resistenze e delle correnti; utilizzo delle leggi di Kirchhoff

Concetti Chiave

  • Il circuito è risolto utilizzando le leggi di Kirchhoff, applicando sia la legge dei nodi che la legge delle maglie.
  • Le differenze di potenziale date sono ΔV1 = 12 V e ΔV2 = 15 V, con resistenze R1 = 10 Ω, R2 = 35 Ω e R3 = 50 Ω.
  • Si imposta un sistema di equazioni basato sulle leggi di Kirchhoff per determinare le correnti i1, i2 e i3.
  • Le correnti calcolate sono i1 = 0,10 A, i2 = 0,12 A e i3 = 0,22 A, confermando che il verso scelto è corretto.
  • I risultati mostrano che tutte le correnti sono positive, indicando che il verso delle correnti è quello precedentemente ipotizzato.

Nel circuito della figura si ha

[math] ∆V_1 = 12 V[/math]
,
[math] ∆V_2 = 15 V[/math]
,
[math] R_1 = 10 â„&brv\bar;[/math]
,
[math] R_2 = 35 â„&brv\bar;[/math]
e
[math] R_3 = 50 â„&brv\bar;[/math]
.

Determina, in verso e valore, tutte le correnti presenti nel circuito.

Svolgimento

Il problema, dato che il circuito presenta due generatori di corrente, va risolte per mezzo delle leggi di kirchhoff.

Applichiamo per prima cosa la legge dei nodi, per cui la somma delle correnti entranti in un nodo è uguale alla somma delle correnti uscenti:

[math] i_1 + i_2 = i_3[/math]

Poi, avendo scelto un verso di percorrenza delle maglie, applichiamo la legge delle maglie, per cui la somma delle differenze di potenziale che si incontrano percorrendo una maglia è uguale a zero.

Per la maglia più piccola abbiamo:

[math] ∆V_1 - R_1 \cdot i_1 + R_2 \cdot i_2 - ∆V_2 = 0 [/math]

[math] 12 - 10 \cdot i_1 + 35 \cdot i_2 - 15 = 0 [/math]

[math] - 10 \cdot i_1 + 35 \cdot i_2 - 3 = 0 [/math]

Per la maglia più grande:

[math] ∆V_2 - R_2 \cdot i_2 - R_3 \cdot i_3 = 0 [/math]

[math] 15 - 35 \cdot i_2 - 50 \cdot i_3 = 0 [/math]

[math] 3 - 7 \cdot i_2 - 10 \cdot i_3 = 0 [/math]

Mettiamo a sistema le tre equazioni e risolviamo il sistema:

[math][/math] left{\begin{array}{ll} i_1 + i_2 = i_3&\ - 10 i_1 + 35 i_2 - 3 = 0&\ 3 - 7 i_2 - 10 i_3 = 0 &end{array} \right. [math][/math]

Ricaviamo dalla seconda equazione

[math] i_1[/math]
:

[math][/math] left{ \begin{array}{ll} i_1 + i_2 = i_3&\ i_1 = frac{35 i_2 - 3}{10}&\ 3 - 7 i_2 - 10 i_3 = 0& end{array} \right. [math][/math]

Sostituiamo il valore trovato nella prima equazione:

[math][/math] left{ \begin{array}{ll} frac{35 i_2 - 3}{10} + i_2 = i_3&\ i_1 = frac{35 i_2 - 3}{10}&\ 3 - 7 i_2 - 10 i_3 = 0& end{array} \right. [math][/math]

Esplicitiamo quindi il valore di

[math]i_3[/math]
nella prima equazione:

[math][/math] left{ \begin{array}{ll} frac{35 i_2 - 3 + 10 i_2}{10} = i_3& \ i_1 = frac{35 i_2 - 3}{10}&\ 3 - 7 i_2 - 10 i_3 = 0& end{array} \right. [math][/math]

Otteniamo quindi il seguente valore per

[math]i_3[/math]
:

[math][/math] left{ \begin{array}{ll} i_3 = frac{45 i_2 - 3 }{10}&\ i_1 = frac{35 i_2 - 3}{10}&\ 3 - 7 i_2 - 10 i_3 = 0& end{array} \right. [math][/math]

Procediamo sostituendo il valore di

[math]i_3[/math]
nella terza equazione:

[math][/math] left{ \begin{array}{ll} i_3 = frac{45 i_2 - 3 }{10}&\ i_1 = frac{35 i_2 - 3}{10}&\ 3 - 7 i_2 - 10 * frac{45 i_2 - 3}{10} = 0&end{array} \right. [math][/math]

Dalla terza equazione, quindi, possiamo ricavare il valore della corrente

[math]i_2[/math]
:

[math][/math] left{ \begin{array}{ll} i_3 = frac{45 i_2 - 3 }{10}&\ i_1 = frac{35 i_2 - 3}{10}&\ 3 - 7 i_2 - 45 i_2 + 3= 0&end{array} \right. [math][/math]

[math][/math] left{ \begin{array}{ll} i_3 = frac{45 i_2 - 3 }{10}&\ i_1 = frac{35 i_2 - 3}{10}&\ - 52 i_2 + 6= 0&end{array} \right. [math][/math]

Esplicitiamo quindi il valore di

[math]i_2[/math]
:

[math][/math] left{ \begin{array}{ll} i_3 = frac{45 i_2 - 3 }{10}&\ i_1 = frac{35 i_2 - 3}{10}&\ i_2 = frac{6}{52} = frac{3}{26}&end{array} \right. [math][/math]

Sostituiamo tale valore nelle altre equazioni per trovare il valore di tutte le correnti:

[math][/math] left{ \begin{array}{ll} i_3 = frac{45 * frac{3}{26} - 3}{10} = 0,22&\ i_1 = frac{35 * frac{3}{26} - 3}{10} = 0,10&\ i_2 = frac{3}{26} = 0.12& end{array} \right. [math][/math]

[math][/math] left{ \begin{array}{ll} i_3 = 0,22&\ i_1 = 0,10&\ i_2 = 0.12& end{array} \right. [math][/math]

Poiché le correnti risultano tutte positive, possiamo affermare che il loro verso è proprio quello che noi avevamo scelto arbitrariamente all'inizio.

Studia con la mappa concettuale

Domande da interrogazione

  1. Quali sono i valori delle differenze di potenziale e delle resistenze nel circuito?

    2. Le differenze di potenziale sono [math] ∆V_1 = 12 V[/math] e [math] ∆V_2 = 15 V[/math], mentre le resistenze sono [math] R_1 = 10 â„&brv\bar;[/math], [math] R_2 = 35 â„&brv\bar;[/math] e [math] R_3 = 50 â„&brv\bar;[/math].

  2. Quale legge di Kirchhoff viene applicata per risolvere il circuito?

    3. Viene applicata la legge dei nodi e la legge delle maglie di Kirchhoff per risolvere il circuito.

  3. Come si esprime la legge dei nodi nel circuito?

    4. La legge dei nodi si esprime come [math] i_1 + i_2 = i_3[/math], indicando che la somma delle correnti entranti in un nodo è uguale alla somma delle correnti uscenti.

  4. Quali sono le equazioni delle maglie utilizzate per risolvere il sistema?

    5. Le equazioni delle maglie sono: Per la maglia più piccola: [math] ∆V_1 - R_1 \cdot i_1 + R_2 \cdot i_2 - ∆V_2 = 0 [/math] Per la maglia più grande: [math] ∆V_2 - R_2 \cdot i_2 - R_3 \cdot i_3 = 0 [/math].

  5. Quali sono i valori finali delle correnti nel circuito?

    6. I valori finali delle correnti sono [math] i_1 = 0,10[/math], [math] i_2 = 0,12[/math], e [math] i_3 = 0,22[/math]. Le correnti risultano tutte positive, confermando il verso scelto inizialmente.

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