Elettromagnetismo: Nel circuito della figura si ha ∆V_1 = 10 V , ∆V_2 = 15 V ; le resistenze presenti sono: R_1 = 20 Ω , R_2 = 60 Ω , R_3 = 40 Ω .

Daniele Grassucci
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Risoluzione di un circuito con applicazione delle leggi di Kirchhoff, legge dei nodi e legge delle maglie;

Concetti Chiave

  • Il circuito presenta due generatori di corrente con differenze di potenziale di 10 V e 15 V.
  • Le resistenze nel circuito sono di 20 Ω, 60 Ω e 40 Ω.
  • Le leggi di Kirchhoff sono utilizzate per determinare le correnti, applicando sia la legge dei nodi che quella delle maglie.
  • Le equazioni risultanti dalle leggi di Kirchhoff portano alla soluzione di un sistema di equazioni per trovare le correnti.
  • I valori delle correnti risultano essere i₁ = 0,29 A, i₂ = 0,06 A, i₃ = 0,227 A, indicando che i versi scelti inizialmente erano corretti.

Nel circuito della figura si ha

[math] ∆V_1 = 10 V [/math]
,
[math] ∆V_2 = 15 V [/math]
; le resistenze presenti sono:
[math] R_1 = 20 â„&brv\bar; [/math]
,
[math] R_2 = 60 â„&brv\bar; [/math]
,
[math] R_3 = 40 â„&brv\bar; [/math]
.

Determina il verso e il valore di tutte le correnti presenti nel circuito.

risoluzione_di_un_circuito

Risoluzione

Dato che siamo in presenza di due generatori di corrente, dobbiamo risolvere il circuito mediante le leggi di Kirchhoff, in particolare la legge delle maglie e la legge dei nodi.

Cominciamo stabilendo dei verdi di percorrenza delle maglie e diamo dei versi arbitrari alle correnti: se le correnti che otterremo saranno positive, il verso da noi scelto sarà quello giusto, altrimenti le correnti avranno verso opposto.

risoluzione_circuito

Applichiamo la legge dei nodi, per la quale la somma delle correnti uscenti da un nodo è uguale alla somma della correnti entranti; in particolare, nel nodo B si ha che:

[math] i_2 + i_3 = i_1 [/math]

Applichiamo poi per le due maglie scelte la legge delle maglie, per cui la somma algebrica delle differenze di potenziale che si incontrano percorrendo una maglia è uguale a zero:

[math] R_1 \cdot i_1 + R_2 \cdot i_2 - ∆V_1 = 0 [/math]

[math] 20 \cdot i_1 + 60 \cdot i_2 - 10 = 0 [/math]

[math] 2 i_1 + 6 i_2 - 1 = 0 [/math]

Abbiamo poi:

[math] ∆V_2 - R_3 \cdot i_3 - R_1 \cdot i_1 = 0 [/math]

[math] -15 - 40 \cdot i_3 - 20 \cdot i_1 = 0 [/math]

[math] - 3 - 8 i_3 - 4 i_1 = 0 [/math]

Mettiamo a sistema le tre equazioni:

[math][/math] left{ \begin{array}{ll} i_1 = i_2 + i_3& \ 2 i_1 + 6 i_2 - 1 = 0&\ - 3 - 8 i_3 - 4 i_1 = 0& end{array} \right. [math][/math]

Risolviamo il sistema: cominciamo sostituendo nella seconda e nella terza equazione il valore di

[math]i_1[/math]
esplicitato nella prima:
[math][/math] left{ \begin{array}{ll} i_1 = i_2 + i_3& \ 2 (i_2 + i_3) + 6 i_2 - 1 = 0&\ - 3 - 8 i_3 - 4 (i_2 + i_3) = 0& end{array} \right. [math][/math]

Svolgiamo i calcoli:

[math][/math] left{ \begin{array}{ll} i_1 = i_2 + i_3& \ 8 i_2 + 2 i_3 = 1&\ 12 i_3 + 4 i_2 = 3& end{array} \right. [math][/math]

Dalla terza equazione, esplicitiamo

[math]4 i_2[/math]
:

[math][/math] left{ \begin{array}{ll} i_1 = i_2 + i_3& \ 8 i_2 + 2 i_3 = 1&\ 4 i_2 = 3 - 12 i_3& end{array} \right. [math][/math]

Sostituiamo tale valore di

[math]4 i_2 [/math]
nella seconda equazione:

[math][/math] left{ \begin{array}{ll} i_1 = i_2 + i_3& \ 2 (3 - 12 i_3) + 2 i_3 = 1&\ 4 i_2 = 3 - 12 i_3& end{array} \right. [math][/math]

Svolgiamo i calcoli:

[math][/math] left{ \begin{array}{ll} i_1 = i_2 + i_3& \ 6 - 22 i_3 = 1&\ 4 i_2 = 3 - 12 i_3& end{array} \right. [math][/math]

Dalla seconda equazione possiamo ricavare il valore di

[math]i_3[/math]
:

[math][/math] left{ \begin{array}{ll} i_1 = i_2 + i_3& \ i_3 = frac{5}{22} = 0,227 A&\ 4 i_2 = 3 - 12 i_3& end{array} \right. [math][/math]

Sostituiamo il valore di

[math]i_3[/math]
nella terza equazione:

[math][/math] left{ \begin{array}{ll} i_1 = i_2 + i_3& \ i_3 = 0,227 A&\ i_2 = frac{3 - 12 * 0,227}{4} = 0,06 A& end{array} \right. [math][/math]

Infine sostituiamo i valori trovati anche nella prima equazione:

[math][/math] left{ \begin{array}{ll} i_1 = 0,06 + 0,227 = 0,29 A& \ i_3 = 0,227 A&\ i_2 = 0,06 A& end{array} \right. [math][/math]

Le tre correnti trovate hanno i seguenti valori:

[math][/math] left{ \begin{array}{ll} i_1 = 0,29 A& \ i_3 = 0,227 A&\ i_2 = 0,06 A& end{array} \right. [math][/math]

Poiché tutte le correnti hanno segno positivo, il verso di ognuna di esse corrisponde a quello scelto in partenza.

Studia con la mappa concettuale

Domande da interrogazione

  1. Quali sono i valori delle differenze di potenziale nel circuito?

    2. Le differenze di potenziale nel circuito sono [math] ∆V_1 = 10 V [/math] e [math] ∆V_2 = 15 V [/math].

  2. Quali sono le resistenze presenti nel circuito?

    3. Le resistenze nel circuito sono [math] R_1 = 20 â„&brv\bar; [/math], [math] R_2 = 60 â„&brv\bar; [/math], e [math] R_3 = 40 â„&brv\bar; [/math].

  3. Come si determinano i versi delle correnti nel circuito?

    4. I versi delle correnti sono determinati arbitrariamente; se le correnti risultano positive, il verso scelto è corretto, altrimenti è opposto.

  4. Quali leggi di Kirchhoff sono applicate per risolvere il circuito?

    5. Sono applicate la legge delle maglie e la legge dei nodi di Kirchhoff per risolvere il circuito.

  5. Quali sono i valori finali delle correnti nel circuito?

    6. I valori finali delle correnti sono [math] i_1 = 0,29 A [/math], [math] i_2 = 0,06 A [/math], e [math] i_3 = 0,227 A [/math].

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