Concetti Chiave
- Il filo rigido, uniformemente carico, è sagomato come un quarto di circonferenza con densità lineare di carica λ.
- Il problema richiede di calcolare il campo elettrico al centro della circonferenza, punto O, nel primo quadrante.
- Il campo elettrico infinitesimo lungo l'asse x è derivato dalla carica elementare dq come funzione di θ.
- Integrando l'espressione del campo elettrico da 0 a π/2 si ottiene il valore di Ex.
- La relazione tra Ex e E permette di calcolare il campo elettrico totale al centro O.
In questo appunto andremo a calcolare il campo elettrico generato da un filo a forma di quarto di circonferenza carico uniformemente. Dal momento che la sorgente è continua e non discreta (quindi formata da un insieme di infiniti punti a distanza infinitesima tra loro), non sarà sufficiente fare una somma ma dovremo invece integrare. Vediamo ora il testo dell'esercizio.
Testo dell'esercizio
Un tratto di filo rigido sottile, uniformemente carico con densità lineare di carica[math]\lambda[/math]
, è sagomato in modo da formare un quarto di circonferenza di raggio [math]R[/math]
e centro [math]O[/math]
. Calcolare il campo elettrico nel centro [math]O[/math]
.
Soluzione dell'esercizio
Poniamo il filo nel primo quadrante con centro nell'origine. Dividiamo il filo in parti infinitesime di lunghezza[math]r \cdot d\theta[/math]
perché la lunghezza dell'arco di circonferenza è data proprio da [math]r \theta [/math]
, ma in questo caso prenderemo un angolo infinitesimo, appunto.Si ha che la componente infinitesima del campo elettrico lungo l'asse delle x è data da:
[math]dE_x=\frac{dq \cdot \cos \theta }{4\pi \cdot \varepsilon_0 \cdot r^2}=\frac{\lambda \cdot d \theta \cdot \cos \theta}{4\pi \cdot \varepsilon_0 \cdot r}[/math]
Integrando da
[math]0[/math]
a [math]\frac{\pi}{2}[/math]
si ottiene l'espressione:
[math] E_x=\frac{\lambda}{4\pi \cdot \varepsilon_0 \cdot r} \int_0^{\pi/2} \cos \theta d \theta =\frac{lambda}{4\pi \cdot \varepsilon_0 \cdot r}[/math]
Essendo inoltre
[math]E_x=E_y=\frac{E}{\sqrt{2}}[/math]
si ha:
[math]E=\sqrt2 \cdot E_x=\frac{\sqrt2 \cdot \lambda}{4\pi \cdot \varepsilon_0 \cdot r}[/math]
Nota: In questo esercizio è stato necessario integrare il coseno, ovvero trovare una sua primitiva. Si osserva che
[math]\sin(x)[/math]
è una primitiva di questa funzione, in quanto [math]\sin(x)' = \cos(x)[/math]
.
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