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Campo elettrico generato da una distribuzione di cariche sferica


Consideriamo una sfera di raggio R piena di cariche elettriche, il campo elettrico che si genererà sulla sua superficie S, si potrà calcolare:
  • - in un punto P esterno, dove la distanza r > R (raggio).
    - in un punto P interno, dove la distanza r < R (raggio).

1° CASO: punto P esterno, r > R.
Considero una sfera t passante per P, che si trova a distanza r > R, quindi avrà raggio r > R. Calcolo il flusso di E attraverso questa sfera t, una volta utilizzando la definizione ed un'altra volta utilizzando il Teorema di Gauss. Quindi:
  • - Per definizione: ES = E 4π
    [math]r^2[/math]
    - Per il teorema di Gauss = Φ = Q/ε

Possiamo eguagliare:
  • E 4π
    [math]r^2[/math]
    = Q/ε

Quindi:
  • E = (1 / 4πε)(Q /
    [math]r^2[/math]
    )

In definitiva, nei punti esterni il campo elettrico è pari al campo che si avrebbe concentrato nel centro della sfera.

2° CASO: punto P interno alla sfera
Considero una sfera c passante per P di raggio r < R. Essa intercetta al suo interno una carica Q che è solo una parte della carica Qtot contenuta nella sfera di raggio R. Se le cariche sono distribuite uniformemente:

  • Qtot : Q = 4/3(π
    [math]R^3[/math]
    ) : 4/3(π
    [math]r^3[/math]
    )

Q= Qtot
[math]r^3[/math]
/
[math]R^3[/math]

Calcoliamo adesso il flusso Φ attraverso:
  • - definizione
    - Teorema di Gauss

alla fine si otterrà:
E = (1 / 4πε)(Qtot r /
[math]R^3[/math]
)
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