Introduzione alla relatività : 1 elementi di meccanica classica

Amadori-Lussardi Introduzione alla teoria della relatività

Prefazione

Le scoperte scientifiche che sono veramente passate alla storia non sono mol-

tissime, sebbene la scienza esista, praticamente, da quando esiste l’uomo. La

teoria della relatività è, senza ombra di dubbio, una delle più grandi rivoluzioni

del pensiero umano, ad opera principalmente del fisico tedesco Albert Einstein

(Ulm, 14 marzo 1879, Princeton, 18 aprile 1955). La teoria della relatività generale,

sublime capolavoro del pensiero umano, costituisce tuttora, ad ormai un secolo

dalla sua stesura, la teoria di riferimento della gravitazione che corregge e amplia

la vecchia teoria newtoniana e fa da base per gli attuali tentativi di quantizzazione

della gravità. Come ogni teoria fisica anche la teoria della relatività è formalizzata

in termini matematici; più precisamente la matematica che pone il fondamento

della teoria della relatività è il calcolo tensoriale, costruito e studiato da Gregorio

Ricci Curbastro (Lugo, 12 gennaio 1853, Bologna, 6 agosto 1925) e dal suo allievo

Tullio Levi Civita (Padova, 29 marzo 1873, Roma, 29 dicembre 1941). È curioso e

per certi versi affascinante osservare che il calcolo tensoriale introdotto da Ricci

Curbastro e Levi Civita in ambito geometrico−differenziale abbia poi trovato una

sua naturale collocazione nella teoria della relatività: infatti una relazione tensoriale

è invariante rispetto ai cambiamenti di coordinate, ovvero di riferimento, per cui

appare come la migliore candidata possibile ad essere posta come legge fisica.

Lo scopo di questa trattazione, principalmente didattico, è quello di presentare

anzitutto, dopo un breve richiamo di meccanica lagrangiana nel capitolo 1, la teoria

della relatività ristretta, esposta nel capitolo 2, come correzione della meccanica

newtoniana alla luce del principio di costanza della velocità della luce nel vuoto. Lo

studio dell’invarianza rispetto alle trasformazioni di Lorentz suggerisce la necessità

di studiare le relazioni matematiche a più indici che sono invarianti rispetto ai

cambiamenti di riferimento, ovvero di coordinate. Nel capitolo 3 dunque si sposta

l’attenzione sul calcolo tensoriale e sullo studio della geometria intrinseca degli spazi

coordinatizzabili. Nel capitolo 4 finalmente si passa allo studio delle basi teoriche

della teoria della relatività generale. Verrà posta l’attenzione solo sui fondamenti

della teoria stessa e sulle sue principali conseguenze a partire dal principio di

equivalenza, accennando solo, come conclusione al capitolo 4, ad alcuni tra gli

sviluppi più recenti, quali le onde gravitazionali, la cosmologia, i buchi neri o ancora

il problema dell’unificazione delle forze.

Il seguente testo può essere rivolto, secondo la nostra opinione, a studenti dei

9

Amadori-Lussardi Introduzione alla teoria della relatività

10 Prefazione

corsi di laurea in matematica, fisica o ingegneria che desiderano avere una conoscenza

di base di calcolo tensoriale e di teoria della relatività. Pertanto indichiamo come

prerequisiti una buona conoscenza dell’analisi matematica in dimensione finita,

una buona conoscenza della fisica generale e della meccanica analitica. I testi

principali di riferimento per questa trattazione sono: e

L.D. Landau E.M. Lifsic,

Meccanica, Boringhieri, Torino 1965, pp. 253 e e

L.D. Landau E.M. Lifsic,

Teoria dei campi, Editori riuniti, Roma 1999, pp. 517 per la teoria della relatività

ristretta e generale; Lezioni di Calcolo Differenziale assoluto, trad.

T. Levi Civita,

di E. Persico, Stock editore, Roma 1925, pp. 314, per il calcolo tensoriale. Altri

riferimenti si possono trovare nella bibliografia presentata.

Infine, ma non ultimo in importanza, va sottolineato il fatto che la teoria della

relatività, poiché si basa su pochi principi e sul fertile e potente calcolo tensoriale,

ha anche il pregio di essere semplice, completa, elegante e bella.

Avvertenza. La cronologia delle scoperte ed invenzioni qui riportate, nonché la loro

paternità, può essere imprecisa o incompleta. Ci scusiamo da subito per questo

con il lettore. Come spesso si verifica nella storia della scienza, per esigenze di

chiarezza, si schematizzano eccessivamente i complessi, lunghi e controversi processi

che hanno portato ad una scoperta, invenzione o teoria compiuta. Questo porta

spesso ad associare ad una teoria, scoperta o invenzione una data ed un singolo

nome di scienziato in modo non rispettoso della verità storica. Un esempio fra tutti

è proprio la genesi della teoria della relatività ristretta. Essa viene comunemente

attribuita ad Einstein, dimenticando spesso i fondamentali ed essenziali apporti di

molti altri scienziati, come ad esempio Poincaré, Minkowski e Lorentz.

Ringraziamo per il supporto tecnico e scientifico: il dott.Luca Giuzzi, Paolo Glorioso,

il prof. Roberto Lucchetti, la prof. Silvia Pianta ed il prof. Mauro Spera che ha

letto con attenzione il libro. In particolare L. Lussardi ringrazia il prof. Bruno

Bigolin dal quale l’autore ha appreso il calcolo tensoriale nella forma originalmente

data dai grandi maestri Ricci Curbastro e Levi Civita.

Ringraziamo infine tutta la comunità di www.matematicamente.it grazie alla

quale ci siamo conosciuti: il direttore prof. Antonio Bernardo, che ha letto

scrupolosamente il lavoro e ha segnalato parecchie sviste, e tutti coloro che si sono

mostrati interessati alla stesura del testo.

Godiasco (Pavia), Arrigo Amadori

Agosto 2008 Luca Lussardi

Amadori-Lussardi Introduzione alla teoria della relatività

Capitolo 1

Elementi di meccanica classica

La meccanica classica è la teoria fisica fondamentale ed anche storicamente

la prima teoria che spiega i fenomeni in termini di interazioni fra corpi. Essa

trae origine principalmente dai lavori di Galileo (l’ideatore del metodo scientifico,

1564−1642), Newton (1642−1727), Lagrange (1736−1813), Hamilton (1805−1865).

Ma fu Newton colui che alla meccanica classica diede i contributi più importanti.

Per questo egli può esserne considerato a pieno titolo il padre. Con la definizione

dei basilari tre principi, Newton portò la meccanica classica a livello di teoria

compiuta. Inoltre Newton, in concomitanza con Leibniz, ma indipendentemente da

egli, costruì quella matematica, il calcolo infinitesimale, evoluto poi nel moderno

calcolo differenziale e calcolo integrale, che è alla base della meccanica classica.

Sulla meccanica classica si fondano le teorie fisiche successive, in particolare la

teoria della relatività e la meccanica quantistica, che di essa costituiscono necessarie

correzioni ed ampliamenti. Sono possibili diversi modelli di meccanica classica; in

questo capitolo limiteremo la nostra trattazione al modello lagrangiano.

1.1 Il modello lagrangiano

Il modello lagrangiano per la meccanica classica è il seguente. Consideriamo

n

un sistema meccanico isolato, che non interagisce con l’esterno, composto da

punti materiali, ovvero corpi dotati di massa le cui dimensioni sono trascurabili e

m , m , . . . , m .

che chiameremo anche particelle. Le masse delle particelle siano 1 2 n

3

Il sistema meccanico è immerso nello spazio euclideo in cui è sempre possibile

R

K;

definire un sistema di riferimento inerziale d’ora in poi denoteremo con SRI un

sistema di riferimento inerziale (per il significato della parola inerziale si veda la

sezione 1.2).

Un SRI è costituito da un sistema di riferimento spaziale cartesiano ortogonale

Oxyz t.

associato ad un orologio ideale, solidale con esso, che misura il tempo

K t.

Diremo semplicemente che al SRI è associato il tempo Le particelle sono

11

Amadori-Lussardi Introduzione alla teoria della relatività

12 Capitolo 1

r , r , . . . , r . r

individuate dai raggi vettori Un generico raggio vettore è dato

1 2 n i

= (x ).

r , y , z

dalla tripla La situazione è rappresentata dalla figura 1.1.

i i i i z m n

r

n

K m 2

r

2 m 1

r

1 y

0 t

x v

m , . . . , m K.

Figura 1.1: Le particelle nel SRI

1 n

z !

z

!

K

K m

Il sistema meccanico in oggetto è descritto, rispetto ad un SRI, dalla lagrangiana

r !

r

vt )

0 L(r , r , . . . , r , ṙ , ṙ , . . . , ṙ (1.1)

!

x

1 2 n 1 2 n

x

t

definita come !

t

n 1 !

X

y = (r )

y

2

L m v − U , r , . . . , r (1.2)

i 1 2 n

2 i v

i=1 = =

v v ṙ v ||v ||.

dove le sono i moduli delle velocità delle particelle, cioè

i i i i i

Si noti che la lagrangiana (1.2) non contiene esplicitamente il tempo (per un

!

z

z !

K

approfondimento di questo fatto si veda la sezione 1.3).

1 K

2

m v i-esima

Il termine è detto energia cinetica della particella per cui

i

2 i n 1 !

x

0 X 2

x m v 0 !

i

2 i

i=1 !

t

t U

è l’energia cinetica del sistema. Il termine è detto energia potenziale del sistema

y !

y U

e descrive l’interazione mutua delle particelle. L’energia potenziale è scalare e

U

dipende solo dalle posizioni delle particelle. Più precisamente è una funzione

delle mutue distanze fra tutte le particelle, considerate a due a due:

= (|r ), = 1, 2,

U U − r |, |r − r |, . . . , |r − r |, . . . i, j . . . , n.

1 2 1 3 i j

U

La forma matematica di esprime un fatto fondamentale in meccanica classi-

ca: l’interazione fra le particelle avviene istantaneamente ovvero la velocità di

1

Amadori-Lussardi Introduzione alla teoria della relatività

Elementi di meccanica classica 13

interazione è infinita. Ovviamente, questa affermazione nella realtà delle cose è

falsa; però, se le velocità delle particelle sono molto piccole rispetto alle velocità

delle interazioni, cosa che si verifica nei fenomeni ordinari, la meccanica classica

approssima fedelmente la realtà.

Se poniamo n 1

X

= 2

T m v

i

2 i

i=1 =

L T −U

la lagrangiana si scrive più semplicemente come . Allo scorrere del tempo,

le particelle percorrono curve continue, dette traiettorie, date dalle equazioni orarie

= (t)

 r r

1 1

 ... = (t).

r r

 n n t t

Secondo il principio di minima azione, il moto delle particelle fra gli istanti e

1 2

deve avvenire in modo che l’azione

t

Z 2

= )

S L(r , r , . . . , r , ṙ , ṙ , . . . , ṙ dt

1 2 n 1 2 n

t

1

sia minima, o, più debolmente, abbia un estremo. Il presente problema variazionale

conduce alle equazioni di Eulero−Lagrange

d ∂L ∂L

= = 1, 2,

, i . . . , n (1.3)

dt ∂ ṙ ∂r

i i

che sono, in tal caso, le equazioni del moto del sistema meccanico dato, risolvendo

= (t).

r r

le quali si trovano le equazioni orarie delle particelle Le equazioni

i i

(1.3) costituiscono un sistema di equazioni differenziali del secondo ordine che

(t ), (t ), (t ), (t ).

r . . . , r ṙ . . . , ṙ

è risolubile assegnando le condizioni iniziali 1 0 n 0 1 0 n 0

Questo significa che, note posizioni e velocità di tutte le particelle in un certo

istante e nota la forma dell’energia potenziale, è possibile conoscere in ogni istante

successivo come il sistema evolve, cioè le posizioni e le velocità che le particelle

avranno in qualunque istante successivo. Questo è il concetto di base della meccanica

=

L T − U

classica. Se applichiamo le equazioni del moto alla lagrangiana si ricava

dv ∂U

i = = 1, 2,

m − , i . . . , n.

i dt ∂r

i

dv

i = v̇

Le quantità sono le accelerazioni delle particelle. Se introduciamo la forza

i

dt ∂U

=

F − ,

i ∂r

i

i-esima

che agisce sulla particella, si ottiene la ben nota formula di Newton

=

m v̇ F

i i i

che esprime il secondo principio della meccanica.

Amadori-Lussardi Introduzione alla teoria della relatività

14 Capitolo 1

1.2 Il principio di relatività galileiana

Consideriamo una particella libera, ovvero che non interagisce con altre particelle,

= 0

m U

di massa rispetto ad un SRI. Per essa vale per cui la sua lagrangiana

diventa 1

= 2

L mv .

2 = 0

v̇ v

Applicando le equazioni del moto si ricava ovvero è costante. Un SRI è

quindi un sistema di riferimento rispetto al quale una particella libera si muove di

moto rettilineo uniforme. Siamo quindi in grado di formulare il principio d’inerzia

di Galileo, detto anche primo principio della meccanica: una particella libera si

muove di moto rettilineo uniforme rispetto ad un SRI.

Siccome un SRI è un sistema di riferimento rispetto al quale una particella

libera si muove di moto rettilineo uniforme, il principio d’inerzia è evidentemente