Concetti Chiave
- Kurt Gödel's theorems of incompleteness demonstrate that within any formal logical or mathematical system, certain statements cannot be proven as either true or false.
- The incompleteness theorems challenge the formalism's goal of proving the consistency of formal systems, making it impossible to establish a system's foundation on simpler theories like arithmetic.
- Gödel's work highlights the limitation of using simpler systems to justify more complex mathematical systems, though other forms of justification were found later.
- Russell's antinomy explores the contradictions that arise when considering properties like "not being an element of itself," leading to logical paradoxes.
- The barber paradox, as expressed by Russell, illustrates self-referential contradictions, questioning who shaves the barber under specific logical premises.
Indice
La crisi del formalismo
Anche il formalismo, tuttavia, conosce una crisi clamorosa, allorché nel 1931 il matematico dei sistemi austriaco Kurt Gôdel (1906-78) dimostra due «teoremi di incompletezza», secondo i quali un enunciato relativo alla non contraddittorietà sistema formale logico o matematico - per esempio l'aritmetica o la geometria - è in realtà, all'interno del sistema stesso, un enunciato indecidibile: esso non può venire dimostrato né come vero, né come falso, attraverso il riferimento alle proposizioni del sistema. In tal modo, la fondazione dei sistemi formali, ossia la dimostrazione della loro coerenza, obiettivo del formalismo hilbertiano, risultava impossibile. Gôdel dimostrava così che non è possibile fondare sul "più semplice" (la teoria degli insiemi, l'aritmetica) il "più complesso" (la matematica nel suo insieme); ciò non escludeva tuttavia altre forme di giustificazione, che in effetti furono trovate dopo Gôdel.
La classe R e le sue contraddizioni
Si consideri una proprietà come "non essere elemento di se stesso". A essa, come a ogni proprietà, corri-sponde una classe, R, cui appartengono tutti gli insiemi che non contengono se stessi come elemento. Per esempio, una squadra di calcio vi appartiene, perché è un insieme che non contiene se stesso come elemento: i suoi elementi sono, infatti, i giocatori. Ci chiediamo: la classe R appartiene a se stessa? Supponiamo che R appartenga a se stessa: allora dovrà godere della proprietà che la definisce, cioè non deve appartenere a se stessa. Ciò è ovviamente contraddittorio. Supponiamo allora che R non appartenga a se stessa: allora, godendo della proprietà di non appartenere a se stessa,dovrà appartenere a R, cioè a se stessa. II che è ancora una volta contraddittorio.
L'antinomia del barbiere di Russell
Russell espresse l'antinomia anche in modo intuitivo: «Un certo villaggio ha tra i suoi abitanti un solo barbiere. Egli è un uomo ben sbarbato, che rade tutti e solamente gli uomini del villaggio che non si radono da soli. Ora: chi rade il barbiere? È plausibile sostene-re che egli si faccia la barba da solo. Se così fosse, tuttavia, sarebbe violata la premessa secondo cui il barbiere rade tutti coloro che non si radono da soli. Però, se non si rade da solo, dovrà essere rasato dal barbiere, cioè si raderà da se stesso: il che è ancora contraddittorio».
Domande da interrogazione
- Qual è il contributo principale di Kurt Gôdel alla matematica?
- Cosa dimostra l'antinomia di Russell?
- Qual è l'impatto della scoperta di Gôdel sul formalismo hilbertiano?
Kurt Gôdel ha dimostrato i due "teoremi di incompletezza", che affermano che all'interno di un sistema formale logico o matematico, come l'aritmetica o la geometria, esistono enunciati indecidibili che non possono essere dimostrati né veri né falsi.
L'antinomia di Russell dimostra una contraddizione logica attraverso l'esempio di una classe che non può appartenere a se stessa senza generare un paradosso, illustrato anche con l'esempio del barbiere che rade solo coloro che non si radono da soli.
La scoperta di Gôdel ha reso impossibile l'obiettivo del formalismo hilbertiano di dimostrare la coerenza dei sistemi formali, poiché ha dimostrato che non è possibile fondare il "più complesso" sul "più semplice".
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