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Anche il formalismo, tuttavia, conosce una crisi clamorosa, allorché nel 1931 il matematico dei sistemi austriaco Kurt Gôdel (1906-78) dimostra due «teoremi di incompletezza», secondo i quali un enunciato relativo alla non contraddittorietà sistema formale logico o matematico - per esempio l'aritmetica o la geometria - è in realtà, all'interno del sistema stesso, un enunciato indecidibile: esso non può venire dimostrato né come vero, né come falso, attraverso il riferimento alle proposizioni del sistema. In tal modo, la fondazione dei sistemi formali, ossia la dimostrazione della loro coerenza, obiettivo del formalismo hilbertiano, risultava impossibile. Gôdel dimostrava così che non è possibile fondare sul "più semplice" (la teoria degli insiemi, l'aritmetica) il "più complesso" (la matematica nel suo insieme); ciò non escludeva tuttavia altre forme di giustificazione, che in effetti furono trovate dopo Gôdel.

L'antinomia di Russel


Si consideri una proprietà come "non essere elemento di se stesso". A essa, come a ogni proprietà, corri-sponde una classe, R, cui appartengono tutti gli insiemi che non contengono se stessi come elemento. Per esempio, una squadra di calcio vi appartiene, perché è un insieme che non contiene se stesso come elemento: i suoi elementi sono, infatti, i giocatori. Ci chiediamo: la classe R appartiene a se stessa? Supponiamo che R appartenga a se stessa: allora dovrà godere della proprietà che la definisce, cioè non deve appartenere a se stessa. Ciò è ovviamente contraddittorio. Supponiamo allora che R non appartenga a se stessa: allora, godendo della proprietà di non appartenere a se stessa,dovrà appartenere a R, cioè a se stessa. II che è ancora una volta contraddittorio.

Russell espresse l'antinomia anche in modo intuitivo: «Un certo villaggio ha tra i suoi abitanti un solo barbiere. Egli è un uomo ben sbarbato, che rade tutti e solamente gli uomini del villaggio che non si radono da soli. Ora: chi rade il barbiere? È plausibile sostene-re che egli si faccia la barba da solo. Se così fosse, tuttavia, sarebbe violata la premessa secondo cui il barbiere rade tutti coloro che non si radono da soli. Però, se non si rade da solo, dovrà essere rasato dal barbiere, cioè si raderà da se stesso: il che è ancora contraddittorio».

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