Cartesio - Metodi nella Quarta regola

Nella Quarta regola si ha nuovamente l’affermazione che il metodo di analisi si può trovare anche negli autori antichi. Si fa riferimento a Pappo e Diofanto, matematici greci tardi (I sec. d.C.) che avevano ancora a disposizione il corpus matematico greco che poi è andato perso nei secoli successivi. La tradizione dell’analisi è quindi più nascosta, e Cartesio ci suggerisce anche dove andare a cercarla. Ma si crea un collegamento tra l’analisi degli antichi e una nuova scienza moderna.

Suggerisce un nesso con un fenomeno a lui contemporaneo, cioè la nascita dell’algebra moderna, fiorita nei decenni precedenti legandosi principalmente a Viete. Ma Cartesio afferma che bisogna darle maggiore trasparenza, liberarla della sua complessità e oscurità. Già però in Viete c’è la consapevolezza che questo nuovo metodo algebrico (in cui compare il calcolo letterale) abbia la speranza di risolvere tanti nuovi problemi prima non trattabili. La Geometria è il primo testo della matematica moderna scritto in maniera intuitiva, che permette quella trasparenza e somma facilità che Cartesio si proponeva. E ciò ha avuto un impatto formidabile, forse più nella forma che nel contenuto.
Nel Discorso sul metodo vi è spesso un accostamento tra analisi degli antichi e algebra moderna, e per quanto riguarda la seconda spesso si è caduti nella complessità, piuttosto che sviluppare una scienza utile per i moderni. Per Cartesio è chiarissimo che si parla di analisi geometrica, che possa proprio agire per migliorare e riformare i difetti dell’algebra.

Il riferimento a Pappo e Diofanto è a autori che hanno avuto fortuna maggiormente nei decenni precedenti a Cartesio, per mezzo stampa. In Pappo, nel VII Libro delle Collezioni, si parla del metodo analitico. Si ha l’associazione dell’analisi alla scoperta. Per comprendere l’oscura definizione di analisi che dà Pappo, è utile ricorrere ad un esempio, utilizzato da Polya. Si suppone di avere già risolto il procedimento, procedendo con operazioni ammissibili. Cioè si parte dalla soluzione per giungere ad un qualcosa che vale come punto di partenza, concesso per sintesi, un qualcosa di a noi già noto. Se poi il procedimento è invertibile, si è ottenuta una dimostrazione per il problema. Ma chiaramente non è un metodo universale, ma in ogni caso una procedura sistematica utile.
Quale è il nesso di tutto ciò con l’algebra? La chiave la si trova nelle ultime regole, nella XVII e XIX, nonchè nella Geometria. Qui Cartesio ha in mente un modello matematico, ma al contempo sta cercando in generale di parlare di un metodo per la soluzione dei problemi. Quindi nel testo c’è sempre l’intreccio tra il parlare in generale e i riferimenti a schemi di ragionamento che sono quelli della matematica. Nella Geometria queste espressioni generali vengono quasi riprese pari pari, ma in termini e linguaggio matematici. Le Regole ci permettono di stabilire perfettamente il ponte tra la tradizione dell’analisi antica di Pappo e la modernità dell’algebra. Da un lato fare astrazione dal fatto che alcune cose sono note e altre ignote, per poi procedere con il ragionamento. Che è poi quello algebrico.