L'evoluzione della geometria: da Euclide a Poincaré e il convenzionalismo

- La geometria non euclidea e il concetto di spazio

La nascita della geometria non euclidea

Una delle grandi svolte nella storia del pensiero matematico è rappresentata dalla nascita della geometria non euclidea. La geometria non euclidea nasce dalla messa in discussione del quinto postulato di Euclide, una delle cinque verità considerate di per sé evidenti all’intuizione dalle quali veniva derivata tutta la geometria. Questo postulato afferma che per un punto esterno a una retta data passa una sola parallela a questa retta. Si tratta di una verità indimostrabile. Nella geometria euclidea un postulato è una proposizione che non può essere messa in discussione, è il punto di partenza, la base extradimostrativa delle dimostrazioni. La dimostrazione dell’inderivabilità del quinto postulato, quindi della sua indimostrabilità, riesce quasi contemporaneamente, negli anni fra il 1823 e il 1832, a due matematici che vi lavorano indipendentemente, il russo Nikolaj Ivanovic Lobacevskij e Janos Bolyai. Modificando questo postulato si possono creare geometrie diverse, dette “non euclidee”. Le conseguenze sono enormi. Entra in crisi la fiducia nella possibilità di fondare l’intero edificio della matematica su verità intuitive, cioè su concetti e proposizioni basilari intelligibili immediatamente, cioè senza bisogno di dimostrazione. Le verità matematiche ora non sono più assolute e universali; qualunque teorema è vero solo nei limiti di una teoria e sulla base di certe premesse. Le matematiche diventano costruzioni ipotetico-deduttive, elaborate a partire da ipotesi delle quali nessuna è di per sé migliore delle altre. Le premesse possono essere scelte perché più facilmente intuibili di altre, o perché più utili ed “economiche”, o per convenzione. Nel 1902, il matematico francese Jules-Henri Poincaré disse che gli assiomi della geometria sono solo convenzioni, non contengono nessuna verità e sono scelti per comodità; la domanda se la geometria euclidea sia vera, non ha nessun senso.

- Il convenzionalismo di Poincarè

Il convenzionalismo di Poincaré

Il francese Jules-Henri Poincaré fu uno dei maggiori matematici del suo tempo. Diede contributi significativi anche ad altri campi: astronomia, ottica, elettromagnetismo, elettrodinamica. Secondo Poincaré, la scoperta delle geometrie non euclidee ha dimostrato che i postulati della geometria non sono né giudizi sintetici, cioè ricavati dall’esperienza, né fatti sperimentali. Sono infatti possibili geometri diverse, tutte legittime, sostituibili l’una all’altra e collegabili l’una all’altra mediante regole precise di traduzione. Gli assiomi della geometria non sono verità assolute e oggettiva, ma convenzioni. La nostra scelta fra le convenzioni possibili avviene secondo criteri di comodità e semplicità, oltre che di corrispondenza all’esperienza. Anche le leggi scientifiche sono convenzioni: formulazioni efficaci, che ci aiutano a comprendere in modo unitario i fenomeni legandoli in sistemi di relazioni. Questi sistemi devono essere espressi nel linguaggio universale della matematica. Il valore della scienza consiste nella sua capacità di ordinare, in sistemi di relazioni matematiche, sequenze di fenomeni sempre più ampie. La scienza non rispecchia un preciso ordine metafisico della natura, ma procede inevitabilmente per ipotesi, che devono essere continuamente sottoposte a revisioni. Non riusciremo mai a penetrare il segreto della realtà, ma è possibile dare alle teorie un’oggettività sempre maggiore. Dire che la scienza opera mediante costruzioni matematiche comode non vuol dire che sia arbitraria, o che i fatti e le leggi siano invenzioni del singolo scienziato. Poincaré polemizza con coloro che traggono dal suo convenzionalismo la conclusione che la scienza deforma inevitabilmente i fatti, imponendo schemi arbitrari a una realtà fatta di impressioni fuggitive e cangianti. Gli assiomi geometrici non sono pure creazioni della mente: una geometria è più comoda di un’altra perché consente una migliore sistematizzazione dei fatti sperimentali, non delle invenzioni dello scienziato. La scienza non inventa i fatti e le relazioni tra i fatti, ma il linguaggio con cui enunciarli. Questo linguaggio, matematico, garantisce l’oggettività e la razionalità della scienza. Oggettività, spiega Poincaré con estrema, chiarezza vuol dire due cose: comunicabilità universale, grazie alla matematica, e oggettività delle relazioni fra i fenomeni. Sensazioni e sentimenti non sono mai comunicabili in modo esatto e verificabile, mentre questo è possibile per le relazioni tra le sensazioni e le esperienze.